Prinzip von Cavalieri

02.04.2011, 12:42

Gast11022013

Prinzip von Cavalieri

Meine Frage:
Zwei Fragen zum Prinzip von Cavalieri, das lautet:

"Sei $\begin{eqnarray*} A\subset \mathbb R^p\times \mathbb R^q \end{eqnarray*}$ meßbar. Dann sind auch $\begin{eqnarray*} A_x=\left\{y\in \mathbb R^q | (x,y)\in A\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_y=\left\{x\in \mathbb R^p | (x,y)\in A\right\} \end{eqnarray*}$ für fast alle x bzw. y messbar (über $\begin{eqnarray*} \mathbb R^q \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb R^p \end{eqnarray*}$ ) und es gilt $\begin{eqnarray*} \lambda^{p+q}(A)=\int_{\mathbb R^p} \lambda^q(A_x)d^px \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lambda^{p+q}(A)=\int_{\mathbb R^q} \lambda^p(A_y)d^py \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \lambda^k \end{eqnarray*}$ das k-dimensionale Lebesguemaß (Volumen) bezeichne."

1. frage ich mich, wie man $\begin{eqnarray*} \lambda^q(A_x)d^px, \lambda^p(A_y)d^qy \end{eqnarray*}$ berechnet (also das, was unter den Integralen steht) und

2. wüsste ich gerne, ob jemand ein ganz elementares Beispiel hierfür hat, nicht sowas kompliziertes - nur, dass ich es mal ganz konkret nachrechnen/ anwenden kann.

Meine Ideen:
...

02.04.2011, 13:26

Airblader

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Nimm dir als ganz einfaches Beispiel doch einfach das Einheitsquadrat $\begin{eqnarray*} A = [0,1] \times [0,1] \subset \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Wenn dir das dann schon "zu einfach" ist nimm $\begin{eqnarray*} A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 ~:~ x^2 + y^2 \leq 1\} \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du so ein Beispiel mal durch hast, wäre es eine gute Idee, das im 3-Dimensionalen zu wiederholen.

air

02.04.2011, 15:36

Gast11022013

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Okay, nehme ich also mal $\begin{eqnarray*} A=[0,1]\times [0,1] \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} A_x=\left\{y\in \mathbb R : (x,y)\in A\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda^2(A)=\int_0^1 \lambda(A_x) dx \end{eqnarray*}$ .

Ich frage mich halt nur, was $\begin{eqnarray*} \lambda(A_x) \end{eqnarray*}$ ist.
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist das Lebesgue-Maß und müsste von daher die Länge messen, da es um $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ geht.

Daher würde ich sagen: $\begin{eqnarray*} \lambda(A_x)=1 \end{eqnarray*}$

Und somit käme als Endergebnis 1 heraus, was ja auch Sinn macht, weil man ja die Fläche eines Quadrats mit Seitenlänge 1 sucht.

02.04.2011, 15:51

Airblader

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Zitat:

Original von Dennis2010
Ist das einfach: $\begin{eqnarray*} \lambda(A_x)=1 \end{eqnarray*}$ ?

Ja, aber nicht für alle x. Beachte, dass $\begin{eqnarray*} A_x \end{eqnarray*}$ eben auch von x abhängt! Das A_x zerschneidet die Menge A gewissermaßen in senkrechte Linien (A_y zerschneidet es in vertikale Linien).

Im Bereich $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist A_x jeweils ein senkrechter Strich der Länge 1. Überall sonst enthält A_x keine Punkte. Es ist also

$\begin{eqnarray*} \lambda(A_x) = \begin{cases}1 & x \in [0,1]\\ 0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Etwas kürzer schreibt man das so: $\begin{eqnarray*} \lambda(A_x) = 1_{[0,1]} \cdot 1 = 1_{[0,1]} \end{eqnarray*}$ .

Damit wird dann $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R} \lambda(A_x)~\dd x = \int_{\mathbb R} 1_{[0,1]}~\dd x = \int_{[0,1]} 1 ~ \dd x + \int_{\mathbb R \setminus [0,1]} 0 ~\dd x = \int_{[0,1]} 1 ~ \dd x = \int_0^1 1 ~ \dd x \end{eqnarray*}$ .

Damit siehst du auch die Begründung für das, was bei dir einfach so "nebenbei" dransteht: Warum das Integral von 0 bis 1 berechnet wird. In der Formulierung muss man ja über ganz IR integrieren.

air

02.04.2011, 15:53

Airblader

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Kleine Anmerkung:

Zitat:

Original von Airblader
Im Bereich $\begin{eqnarray*} 0 \leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist A_x jeweils ein senkrechter Strich der Länge 1.

Formal stimmt das nicht. Ein solcher Strich ist eher $\begin{eqnarray*} \{x\} \times A_x \end{eqnarray*}$ . Die Menge $\begin{eqnarray*} A_x \end{eqnarray*}$ selbst ist einfach nur ein Intervall. Aber ich wollte es etwas anschaulicher formulieren.

air

02.04.2011, 16:15

Gast11022013

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Ah, danke!

Ich hatte mich auch schon gefragt, warum in der Formulierung des Satzes über ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^q \end{eqnarray*}$ bzw. ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^p \end{eqnarray*}$ integriert wird.

Nun wage ich mich nochmal an das andere von Dir vorgeschlagene Beispiel heran, nämlich $\begin{eqnarray*} A=\left\{(x,y)\in \mathbb R^2 : x^2+y^2\leq 1\right\}\subset \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

Das finde ich schon schwerer.
Die Menge A enthält alle Zahlen, die im Einheitskreis (inklusive Rand) enthalten sind.

Die Menge $\begin{eqnarray*} A_x=\left\{y\in \mathbb R : (x,y)\in A\right\} \end{eqnarray*}$ enthält doch dann alle y-Werte, die auf einer Sekante liegen, die man durch den gewählten x-Wert legt. Ich weiß nicht, wie man die Punkte auf dem Rand berechnet, jedenfalls sei a der obere, b der untere Punkt auf dem Einheitskreisrand, dann sind die y-Werte, die in $\begin{eqnarray*} A_x \end{eqnarray*}$ liegen: $\begin{eqnarray*} b\leq y\leq a \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich jetzt wüsste, wie man a und b bestimmt, könnte ich das Maß ausrechnen.

02.04.2011, 16:21

Airblader

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Soweit alles richtig. Freude

Als Tipp für die Werte von a und b: Der obere Einheitshalbkeis lässt sich durch $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ darstellen.

Ich bemerke aber gerade, dass das Integral nachher alles andere als schön wird. Macht aber nichts, es geht ja jetzt im Moment mal eher um den Weg.

air

02.04.2011, 16:28

Gast11022013

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Ich werde das hier mal abbrechen, denn das Prinzip habe ich - denke ich - begriffen und die weitere Rechung ist für mich momentan nicht so entscheidend.

Herzlichen Dank!
Diese beiden Beispiele waren sehr hilfreich für mich.

Freude

02.04.2011, 16:30

Airblader

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Okay. Wirklich interessant wird es eigentlich erst, wenn das ganze in höhere Dimensionen geht. Sowas würde ich also durchaus noch empfehlen.

Aber ansonsten scheint das Prinzip ja angekommen zu sein. Wenn das erstmal genügt, ist das okay. Augenzwinkern

air

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