limsup

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04.12.2006, 11:57	Yogi Löw	Auf diesen Beitrag antworten »
limsup Hallo, kann mir bitte mal jemand einen Ansatz für den Beweis des folgenden Problem geben ??? Habe mir schon diverse Bücher zur Brust genommen, da wird aber immer nur die Addition von limsup und liminf erklärt...Ich habe daher bis jetzt leider auch noch keine Idee... $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ und grösser Null, $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ eine nach oben beschränkte und $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ eine konvergente Folge in $\begin{eqnarray} \mathbb R _{>0} \end{eqnarray}$ . Wie kann ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} lim Sup (a_n b_n) = b * lim Sup (a_n) \end{eqnarray*}$ ist??? Bitte dringend um Hilfe...
04.12.2006, 12:07	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: limsup Hallo, am besten betrachtest du eine Teilfolge von $\begin{eqnarray} (a_nb_n) \end{eqnarray}$ , so dass aus dem limsup ein lim wird. Dann brauchst du nur noch zeigen, dass der zugehörige lim der TF der $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ schon der limsup von $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ ist.
04.12.2006, 12:17	Yogi Löw	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: limsup danke erstmal, die Vorgehensweise verstehe ich, aber ich hab leider immer noch keine Ahnung wie ich das anstelle....
04.12.2006, 12:20	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: limsup meinst du den ersten Schritt mit lim statt limsup, oder den zweiten?
04.12.2006, 12:29	Yogi Löw	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: limsup den Ersten, zu zeigen, dass,bzw. wie, ich eine Teilfolge von $\begin{eqnarray} (a_nb_n) \end{eqnarray}$ von limsup in lim umwandle...
04.12.2006, 12:38	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: limsup wenn dieser limsup existiert, ist dieser ein Häufungspunkt der Folge. Also wählst du eine TF, die gegen diesen Häufungspunkt konvergiert. Dabei fällt mir auf, der Fall, dass der limsup auf der linken Seite gar nicht existiert, ist natürlich zusätzlich zu betrachten.
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04.12.2006, 14:24	Yogi Löw	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: limsup habe die Aufgabe jetzt mal etwas anders aufgeschrieben, dennoch komm ich nicht so richtig weiter, ich verstehe, was du meinst, aber nicht wie man es ausführen, bzw aufschreiben kann...kannst du mal n Anfang starten...damit wäre mir echt geholfen... $\begin{eqnarray} limSup(a_n b_n) = lim(b_n) * limSup (a_n) \end{eqnarray*}$
04.12.2006, 14:42	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: limsup Also: Angenommen $\begin{eqnarray} x:=\mbox{limsup}(a_nb_n) \end{eqnarray}$ existiert, dann gibt es eine TF von $\begin{eqnarray} (a_nb_n) \end{eqnarray}$ , die gegen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ konvergiert, also $\begin{eqnarray} \mbox{lim}(a_{n_k}b_{n_k})=x. \end{eqnarray}$ Es ist nun aber allgemein bekannt, dass nun auch $\begin{eqnarray} \mbox{lim}(a_{n_k})=\frac{\mbox{lim}(a_{n_k}b_{n_k})}{\mbox{lim}(b_{n_k})}=\frac{x}{b} \end{eqnarray}$ ist. Somit hast du also den Kandidaten für $\begin{eqnarray} \mbox{limsup}(a_n) \end{eqnarray}$ gefunden. Dass die Folge $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ keinen größeren Häufungspunkt als $\begin{eqnarray} x/b \end{eqnarray}$ haben kann, zeigst du dann am besten indirekt. Der zweite Fall, dass $\begin{eqnarray} \mbox{limsup}(a_nb_n) \end{eqnarray}$ nicht existiert (also -\infty ist), kann man je nach Definition weglassen, oder aber er ist trivial.
04.12.2006, 15:06	Yogi Löw	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: limsup ...damit kann ich doch dann schreiben : $\begin{eqnarray} lim (a_{nk}) = \frac{lim (a_{nk}b_{nk})}{lim (b_{nk})} =limsup (a_n)= \frac{limsup (a_nb_n)}{lim (b_n)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow limsup (a_nb_n)= b limsub (a_n); \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} b = lim (b_n) \end{eqnarray*}$ oder reicht das nicht für einen Beweis ?
04.12.2006, 15:09	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: limsup Dass eben auch gilt $\begin{eqnarray} \mbox{limsup}(a_n)=\mbox{lim}(a_{n_k}), \end{eqnarray}$ dass musst du noch zeigen. Das geht mit einem indirekten Beweis aber sehr einfach!

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