Besondere Lage von Gerade/Ebene im KS

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hnr Auf diesen Beitrag antworten »
Besondere Lage von Gerade/Ebene im KS
hallo,

bei fragestellungen wie z.b. "welche besondere lage hat die gerade/ebene bezüglich des koordinatensystems?" steige ich regelmäßig aus.

1) gerade: mir ist klar, dass ich dazu diejenigen vektorkoordinaten betrachten muss, die 0 sind. ist z.b. die x3-koordinate des richtungsvektors = 0, bedeutet das doch, dass die gerade parallel zur x3-achse ist (oder bei entsprechendem aufpunkt sogar der x3-achse entspricht). ist das so richtig?

2) ebene: hier wird es für mich schon undurchsichtiger. gibts für ebenen irgendein anschauliches erkennungsmerkmal bzgl. parallelität zu koordinatenachsen bzw. koordinatenebenen? wann ist eine ebene parallel zu einer koordinatenachse, wann zu einer koordinatenebene?

vielen dank,
hnr
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Vermutung bezüglich Punkt 1 ist falsch. Wie schauen die Koordinaten des Einheits-Richtungsvektors der x3-Achse aus?

Ad 2:
Koordinatenachsen sind auch nur Geraden. Die Frage, wann eine Ebene parallen zu einer Koordinatenachse liegt, beantwortet sich von selbst, wenn du statt "Koordinatenachse" "Gerade" einsetzt.

Stell die eine Ebene als die Asphaltfläche eines riesigen Parklatzes vor. Als Gerade nimmst du zwei Laser-Pointer, die du so an die beiden Enden eines Benstiels montierst, dass sie ihre Laserstrahlen genau in der Verlängerung des Besenstiels ausstrahlen.
Der Besenstiel liegt genau dann parallel zum Parkplatz, wenn keiner der beiden Laserstrahlen auf den Asphalt trifft.

Soweit alles verstanden?

Dann montiere eine Kamera auf den Besenstiel, und schaue dir das Bild an, das die Kamera liefert wenn du mit dem Besenstiel herumfuchtelst. In diesem Bild ist der Besenstiel fix. Du kannst ihn also als Koordiantenachse interpretieren. Das was sich wild durch's Bild bewegt ist der Parkplatz. Wenn du nur das Bild von der Kamera siehst, stehst du also vor dem Problem, die riesige Parkplatz-Ebene so auszurichten, dass sie nicht von den Besenstiel-Laserstrahlen getroffen wird. Wenn du das schaffst, liegt die Ebene parallel zur Koordinatenachse.
 
 
hnr Auf diesen Beitrag antworten »

1. Der Einheitsrichtungsvektor der x3-Achse lautet (0/0/1)
Es hat also für eine Gerade keine weitere Bedeutung, wenn 1 Koordinate 0 ist, sondern erst, wenn 2 Koordinaten null sind?

2. Ok, verstanden! Also ist, wenn z.B. c (für x3) 0 ist, die Ebene parallel zur x3-Achse?
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal ein paar Erklärungen:

Vektoren kann man beleibig parallelverschieben, ohne dass sie sich ändern. Wenn ein Vektor also parallel zu einer Geraden verläuft, heißt das, dass er genausogut auch "innerhalb" der Geraden verlaufen kann. Der Richtungsvektor dieser Geraden muss dann also bis auf ein reelles Vielfaches identisch mit sein.

Wenn ein Vektor parallel zu einer Ebene verläuft, ist das aus dem gleichen Grund dasselbe, wie wenn er innerhalb der Ebene verlaufen würde (Vektoren kann man ja beliebig parallelverschieben). Und ein Vektor verläuft genau dann innerhalb einer Ebene, wenn er sich als Linearkombination der beiden aufspannenden Vektoren der Ebene darstellen lässt.

Aufpassen muss man nur, wenn man auch Punkte bzw. deren Ortsvektoren mit ins Spiel bringt. Ein Punkt wird immer durch seinen Ortsvektor angegeben, und Ortsvektoren haben die Besonderheit, dass sie IMMER vom Koordinatenursprung ausgehen. Man kann Ortsvektoren (die ja Koordianten von Punkten sind) nicht parallelverschieben. Tut man es doch, ist das Ergebnis der Verschiebung kein Ortsvektor mehr, sondern nur noch ein normaler Vektor.


Und jetzt gibt's etwas zu tun für dich:

Schreibe mal die Einheitsvektoren der drei Koordinatenachsen auf (den für x3 hast du ja schon richtig erkannt).

Bilde folgende Linearkombinationen der Vektoren x1 und x2:















Was fällt dir bei diesen Vektoren, die ja alle innerhalb (oder parallel zur) x1-x2-Ebene liegen, auf? Achte vor allem auf die x3-Koordinate.

Wenn du da ein Muster erkannt hat, wirst du vielleicht diese Frage beantworten können:
Welche besondere Lage im Raum hat eine Gerade, deren x2-Koordinate 0 ist?

Nächste Frage: Was ist, wenn zusätzlich zur x2-Koordiante auch noch die x1-Koordinate 0 ist? (kleiner Tipp: dann liegt sie parallel zu drei verschiedenen Objekten, aber welche sind das?)

Ganz knifflig (Profi-Frage): Was ist wenn alle drei Koordianten 0 sind?
hnr Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Welche besondere Lage im Raum hat eine Gerade, deren x2-Koordinate 0 ist?
Sie ist parallel zur x1x3-Ebene.

Zitat:
Was ist, wenn zusätzlich zur x2-Koordiante auch noch die x1-Koordinate 0 ist?
Dann ist sie parallel zur x3-Achse, bzw. bei geeignetem Stützvektor ist sie die x3-Achse.

Zitat:
Was ist wenn alle drei Koordianten 0 sind?
Das ist der Nullvektor. Und aus der Geradengleichung würde sich für alle t (Parameter) der Ortsvektor ergeben.
Hubert1965 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von hnr
Zitat:
Welche besondere Lage im Raum hat eine Gerade, deren x2-Koordinate 0 ist?
Sie ist parallel zur x1x3-Ebene.
richtig


Zitat:
Zitat:
Was ist, wenn zusätzlich zur x2-Koordiante auch noch die x1-Koordinate 0 ist?
Dann ist sie parallel zur x3-Achse, bzw. bei geeignetem Stützvektor ist sie die x3-Achse.
Unvollständig.
Ein Vektor, dessen x1- und x2-Koordinaten gleich 0 sind, ist parallel zur x3-Achse, das stimmt. Aber da seine x2-Koordinate 0 ist, ist er auch parallel zur x1x3-Ebene (siehe vorherige Frage. Dass noch eine Koordinate 0 ist, stört ja nicht)
Und aus der Tatsache, dass die x1-Koordinate 0 ist, folgt natürlich, das der Vektor auch parallel zur x2x3-Ebene liegt.


Zitat:
Zitat:
Was ist wenn alle drei Koordianten 0 sind?
Das ist der Nullvektor. Und aus der Geradengleichung würde sich für alle t (Parameter) der Ortsvektor ergeben.

Richtig, das ist der Nullvektor. Dieser Vektor liegt, je nachdem wie man den Begriff "parallel" definiert, entweder parallel zu jedem beliebigen anderen Objekt, oder parallel zu keinem Objekt. - Wie gesagt, da muss man genauer auf den Kontext der Aufgabenstellung achten
hnr Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt, danke dir vielmals!
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