Normalengleichung bestimmen

03.04.2011, 14:01	studYY	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalengleichung bestimmen Guten Tag. Die folgenden Punkte sind Elemente der Ebene: A(1\|-1\|0), B(-3\|0\|2), C(4\|-1\|2) 1. Gib die Ebene in Normalenform an 2. D(-1\|y\|4) soll Element der Ebene sein Zu 1: Ich bestimme den Normalenvektor, indem ich das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren bilde. Dazu muss ich diese ersteinmal bestimmen. $\begin{eqnarray} \vec{AB} = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1 2) - (2 * (-2)) = 6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2 * 3) - ((-4) * 2 )= 14 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-4 * -2) - (1 * 3 ) = 5 \end{eqnarray}$ Das heißt der Normalenvektor lautet: $\begin{eqnarray} \vec{N} = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Doch wie bestimme ich nun die Normalen- oder Koordinantengleichung? Etwas so? Ich nehme nehme die Koordinaten des Normalenvektors und multipliziere sie mit einem vorhandenen Punkt (z.B. Punkt A)? 6 1 + 14 * (-1) + 5 * 0 = d d = -8 Normalengleichung: 6x + 14y + 5z = -8 Ist das so richtig? Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
03.04.2011, 14:34	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau dir deinen Vektor AC nochmal genau an.
03.04.2011, 14:41	studYY	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dass du so aufmerksam warst Björn $\begin{eqnarray} \vec{AC} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1 2) - (2 * 0) = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2 * 3) - ((-4) * 2 )= 14 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-4 * 0) - (1 * 3 ) = -3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{N} = \begin{pmatrix} 2 \\ 14 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2 1 + 14 * (-1) - 3 * 0 = d d = -12 Normalengleichung: 2x + 14y + -3z = -12 So besser?
03.04.2011, 14:50	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, jetzt stimmt es
03.04.2011, 14:57	studYY	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank Björn Zu 2: Der Punkt D soll ein Element der Ebene sein. Das hießt ich muss für y einen Wert finden, damit der Punkt in der Ebene liegt. Hilft mir die Normalengleichunf hier weiter? Ich würde die Ebenengleichung bestimmen und dann mit dem Punkt gleichsetzen: $\begin{eqnarray} E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\0 \end {pmatrix} + r \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 \\ y \\ 4 \end {pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\0 \end {pmatrix} + r * \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Kann ich hiermit irgendwie den Wert für y bestimmen oder sollte ich es mit der Normalengleichung versuchen?
03.04.2011, 15:17	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Da mach dir lieber nicht mehr Arbeit als nötig und arbeite mit der bereits aufgestellten Koordinatengleichung (welche nichts anderes als die ausmultiplizierte Form der Normalengleichung ist). Sprich, setze einfach die Koordinaten von D für x,y und z in der Koordinatengleichung ein und löse nach y auf.
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03.04.2011, 15:27	studYY	Auf diesen Beitrag antworten »
2(-1) + 14y + -34 = -12 -2 + 14y - 12 = -12 \| +14 14y = 2 \|:14 y = 1/7 D(-1\|1/7\|4) Danke Björn
03.04.2011, 15:37	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne

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