Extremwert rechteckiges Prisma |
| 03.04.2011, 14:08 | mhribernik | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Extremwert rechteckiges Prisma Ich möchte euch als ganz neuer Nutzer mal ganz offiziell begrüssen und euch für all eure Beiträge und Fragen/Antworten danken die hier zusammen kommen! Ihr habt mir schon bei so einigen Problemen geholfen! DANKE! Und nun zu meiner Frage an euch: - Gegebene Infos: Form: Rechteckiges, geschlossenes Prisma Volumen: 1m^3 Verhältnis der Kantenlängen der Grundfläche: 2:1 Kantenlängen jeweils > 10 cm - Aufgebenstellung: Die Maße des Objektes sind so zu bestimmen, dass dessen Oberfläche möglichst klein ist! Könnt Ihr mir dabei helfen? Habe in der Schule nur sehr wenig Extremwertaufgaben gemacht und die auch nur mit 'max. volumen/umfang von rechteck'. Bei einer MAX-Oberfläche müsste dass Prisma doch gleichseitig mit gleicher Höhe sein oder? Was gilt dann bei MIN-Oberfläche? Ich dachte daran die Seiten so klein zu halten, dass 'min 10cm' und '2:1' gerade noch gilt. Also: Seiten: 10cm und 20cm? Ich danke euch allen im Voraus für euer Bemühen im Voraus!! mfg. marko |
||
| 03.04.2011, 14:19 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: EXTREMWERT rechteckiges Prisma
Du hast für die Oberfläche 3 Größen: a, b und c. Mit Hilfe des gegebenen Volumens kannst du eine Nebenbedingung (NB) aufstellen und mit Hilfe des gegebenen Verhältnisses a:b = 2:1 kannst du in der NB schon 1 Variable ersetzen. Dann stellst du die NB nach einer der anderen beiden Variablen um und kannst dann in der Hauptbedingung (HB) die Formel für die Oberfläche mit einer einzigen Variablen darstellen. Danach ableiten, Nullsetzen, ausrechnen. Versuche mal die ersten Schritte. 
|
||
| 03.04.2011, 16:27 | mhribernik | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke erstmal für die rache Antwort!! Dank deiner Hilfe hab ichs jetzt bis vors Ableiten geschafft: Oberfläche = 2b*b + 2(2b+b) * (1/(2b*b)) dann: 2b^2 + 6b * (1/2b^2) dann: 2b^2 + 6b/2b^2 Wie leite ich das nun ab? Bei meinen Versuch ist rausgekommen: -1.1... für b. Das geht doch nicht oder? Negative Seitenlänge? |
||
| 03.04.2011, 16:35 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist auch alles recht knapp aufgeschrieben. Zunächst: a = 2b c = 1/2b² Hast du das auch? Dann: O = 2(ab + ac + bc) Durch Einsetzen erhalte ich: Zusammenfassen: Das kann ich bei dir nicht finden... 
|
||
| 03.04.2011, 17:20 | mhribernik | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für die Antwort! Ich hatte eine andere Formel für die Oberfläche: 2(ab) + 2(a+b)c Hab mich anscheinend beim kürzen iwo verrechnet.. Eine kleine Frage am Rande hätt ich noch: - Das war nun die Minimalbedingung.. Wie wäre denn das ganze zu rechnen, wenn die größtmögliche Fläche zu berechnen wäre? Danke sulo für deine Hilfe!! mfg. marko |
||
| 03.04.2011, 17:34 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Ansatz ist der gleiche. Du suchst mit der ersten Ableitung ja die Extremwerte. In unserem Fall suchen wir das Minimum, im anderen Fall halt das Maximum. Deswegen muss auch mit der zweiten Ableitung überprüft werden, ob wir tatsächlich das Minimum errechnet haben. 
Es wäre schön, wenn du deine Ergebnisse aufschreiben würdest.
|
||
| Anzeige | ||
|
|
||
| 03.04.2011, 20:50 | mhribernik | Auf diesen Beitrag antworten » |
Durch das Nullsetzen der ersten Ableitung bin ich auf folgendes Egebniss gekommen: b = 0,72m und weiters: a = 1,44m (a= 2b) und c = 0,96. bzgl. des Maximierens:: - Beim Nullsetzten komme ich jedoch auf genau einen Wert für b! Also kein MIN und MAX! Heisst das nun: MIN = MAX? mfg. marko |
||
| 03.04.2011, 21:19 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zunächst: Deine Ergebnisse stimmen. 
Ob du ein Minimum oder Maximum vorliegen hast, bestimmst du mit der 2. Ableitung. edit: Grafik eingefügt. |
||
| 04.04.2011, 19:23 | mhribernik | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hoppla, ich glaube ich habe mich ein bisserl falsch ausgedrückt; Wenn ich die erste Ableitung gleich Null stelle, dann bekomme ich lediglich ein Ergebnis. Mit der zweiten Ableitung komm ich dann eben nur zum Ergebnis, dass dieser Wert ein Minimum ist. Bzgl. Graph: Zeigt der Graph die möglichen 'Oberflächen & b-Seitenlängen' Kombinationen mit Volumen 1m^3? (oder b > 0.1m ?) - Folglich wäre die maximale Fläche ja mit b=0.1 zu erreichen? Wie kommt man darauf? Warum liegt diese nicht bei b = ca. 4? Ich danke dir noch mal so sehr für deine Hilfe! mfg. marko |
||
| 04.04.2011, 19:45 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Grafik zeigt den Verlauf des Graphen zu O(b) = 4b²+3b^-1 Man kann das Minimum erkennen und sieht, dass es kein Maximum gibt. Der Graph nähert sich auch nicht 0,1 oder 4, wie zwei weitere Ausschnitte des gleichen Funktionsgraphen zeigen:
|
||
| 04.04.2011, 20:01 | mhribernik | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn ich das richtig verstanden hab, dann gibt es kein eindeutiges Ergebnis für b unter der Bedingung 'maximale Oberfläche'. Mit der Nebenbedingung: 'Seitenlängen > 0.1' kann ich dann aber sagen, dass die größtmöglich Oberfläche bei b = 0.1 ist, oder? Kleiner kann b doch wegen der Nebenbedingung nicht werden oder? mfg. marko |
||
| 04.04.2011, 20:08 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, bei b = 0,1m liegt kein Maximum. Die Definitionsmenge gibt ja nur vor, dass die Kantenlängen > 0,1 m sein müssen. Also habe ich mal die Kantenlänge von b mal ein bisschen vergrößert: Du siehst, es gibt kein Maximum.
|
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
