Basiswechsel mit nur einer Basis?

03.04.2011, 15:22	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Basiswechsel mit nur einer Basis? Hi, ich könnte bei einer Aufgabe eure Hilfe gebrauchen. Ist eine "größere" Aufgabe, ich fass zunächst mal zusammen Wir haben die Matrix $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 4 & 0 & -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Davon hab ich zunächst die Eigenvektoren und Eigenwerte bestimmt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit Eigenwert 1 und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit Eigenwert -2 Nun kommen wir zu meinem Problem: Ich soll die Matrix A bezüglich der Basis $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ darstellen Also bezüglich den beiden Eigenvektoren und dem dritten Einheitsvektor. Nun hab ich aber keine Ahnung wie das gehen soll. Basiswechsel kenn ich ja, aber diese Art von Aufgabe ist mir neu. Wie soll man denn eine Matrix anhand einer Basis darstellen?
03.04.2011, 15:33	Hubert1965	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basiswechsel mit nur einer Basis? Wenn keine besondere Basis angegeben ist, gilt als Basis immer $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Interpretiere deine Matrix als Ansammlung von drei Spaltenvektoren. Stelle nun die drei Spaltenvektoren als Linearkombination der drei Basisvektores des neuen Basis dar, und schreib das Ergebnis wieder als eine Matix hin.
03.04.2011, 15:41	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Also im Grunde doch ein ganz normaler Basiswechsel, nur das man aus Bequemlichkeit die Standardbasis nicht erwähnt hat?
04.04.2011, 07:30	Hubert1965	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.

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