Differenzierbarkeit nachweisen

03.04.2011, 18:20	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit nachweisen Ich wäre sehr froh, um eure Hilfe. Ich muss zeigen, dass folgende Funktion in 0 nicht differenzierbar ist, aber leider habe ich nichts in der Hand. $\begin{eqnarray} h(x_1,x_2,x_3)= \begin{cases} \frac{3x_1x_2x_3}{x_1^2+x_2^2+x_3^2} & (x_1,x_2,x_3) \neq (0,0,0) \\ 0 & (x_1,x_2,x_3)=(0,0,0) \end{cases} \end{eqnarray}$ Die Funktion ist wahrscheinlich leider auch stetig in 0. Ich habe schon versucht mich auf verschiedenen Geraden anzunähern, aber vergeblich. Dann habe ich versucht über die Definition der Differnezierbarkeit zu argumentieren, aber ich bekomm' einfach nichts raus. Am Schluss erhalte ich: $\begin{eqnarray} \lim_{(x_1,x_2,x_3)\rightarrow 0} \frac{3x_1x_2x_3}{\|\|x\|\|^2} \end{eqnarray}$ und den kann ich ja nicht bestimmen. Wäre wirklich sehr froh, wenn mir jemand helfen könnte. Ich komm einfach nicht weiter!!
03.04.2011, 19:29	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, zeige, dass die partiellen Ableitungen (also die Ableitungen in Richtung x1, x2 und x3) jeweils "0" sind im Punkt (0, 0, 0). Nun "finde" eine Richtungsableitung von h in (0, 0, 0), deren Wert nicht "0" ist, d.h, definiere eine entsprechende Gerade $\begin{eqnarray} g(x): \mathbb R \Rightarrow \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ die durch (0,0,0) verläuft, so dass die 1. Ableitung von: $\begin{eqnarray} t(x) : \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t(x) := h(g(x)) \end{eqnarray}$ nicht "0" ist. Ziehe nun die entsprechenden Kriterien heran, dass daraus folgt, dass h in (0,0,0) nicht differenzierbar sein kann, d.h, welchen Wert müsste die 1. Ableitung von t(x) haben, wenn die gegebene Funktion h differenzierbar wäre? Gruß Christian
03.04.2011, 21:09	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort. Was ich jedoch nicht verstehe, wieso kann durch die Werte, die die Richtungsableitungen besitzen, sagen, dass die Funktion an einer bestimmten Stelle nicht differenzierbar ist? Welches Kriterium benutzt man da?
03.04.2011, 21:11	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
schau mal unter Suchbegriff Richtungsableitung als Anregung den Thread von Leo1234 an. Ich haderte längere Zeit mit der "Richtungsableitung"
03.04.2011, 21:29	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Hab' da mal vorbeigeschaut. Du hast geschrieben : $\begin{eqnarray} \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(h,0,0)-f(0,0,0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} \frac 0 h \end{eqnarray}$ existiert nicht. Stimmt das? Das gibt doch 0. Man kann ja z.B. de l'hôpital anwenden und den Zähler und Nenner nach h ableiten, dann erhält man 0.
03.04.2011, 21:54	Wombat91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Ich hab' jetzt mal die Richtungsableitung in Richtung $\begin{eqnarray} (1,1,1) \end{eqnarray}$ berechnet. Diese ist tatsächlich nicht 0. Aber wieso kann ich dann sagen, dass die Funktion in 0 nicht differenzierbar ist? Das ergibt für mich keinen Sinn...
Anzeige

03.04.2011, 23:49	ChristianII	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, O.k., ich bemühe mich um eine kurze Begründung, die aber genauere mathematische Zusammenhänge vermissen lässt, also keine Grantie auf korrekte Darlegung übernimmt. Wenn eine Funktion $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^{3} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ in (x1, x2, x3) differenzierbar ist, gibt es eine Linarform L:= A * v, wobei A hier entsprechend der Definition einer linearen Abbildung eine einzeilige, dreispaltige Matrix und v ein Vektor in der Form ist $\begin{eqnarray} v := \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ L wird die (totale) Ableitung in (x1, x2, x3) genannt. Diese Linearform muss so an die Funktion "geschoben" (vergleiche die Steigung der Tangente im eindimensionalen Fall) werden können, dass sie sich entsprechend der Definition der Differenzierbarkeit im gegebenen Punkt genügend "nah" an f (vergleiche dazugehörige Definition) "anschmiegt". Wenn also dieses Differential existiert, müssen auch alle Richtungsableitungen an diesem Punkt existieren. (Anmerkung: Die Umkehrung gilt nicht, d.h., es können Richtungsableitungen zu jedem belieben Vektor v in einem Punkt existieren, ohne dass f dort differenzierbar ist.) Diese Richtungsableitungen müssen (durch "Verschieben") sich genügend nah an f im gegebenen Punkt "anschmiegen", d.h: Wenn nun die Richtungsableitung D(v) in Richtung des Vektors v gesucht ist, muss sie daher nach Definition von L den Wert: D(v) = A * v haben. Daher: Der erste Eintrag in der Matrix A ist die partielle Ableitung in Richtung x1, der zweite Eintrag in der Matrix A ist die partielle Ableitung in Richtung x2 usw, denn z.B. ist für die partielle Ableitung in x1-Richtung: $\begin{eqnarray} v := \begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ [Anmerkung: Diese Erklärung dienen nur zur Veranschaulichung und ersetzen nicht die nötige korrekte mathematische Begründungen.] In unserem Fall sind also alle Einträge der Matrix A "0". Wenn nun f differenzierbar wäre, so gilt für die Richtungsableitung in Richtung v: D(v) = (0, 0, 0) * v = 0, egal, welchen Wert v annimmt. Du hast aber einen Vektor v gefunden, für den die Richtungsableitung nicht 0 ist. Daher kann f nicht diffbar sein. Anmerkung: Bei uns musste der Vektor v immer die Länge "1" bezüglich der euklidischen Norm haben. Gruß Christian

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »