Komplanare Vektoren

03.04.2011, 18:28	gast10101010	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplanare Vektoren Hallo, bitte kontrollieren. Gegeben sind die Vektoren a = $\begin{eqnarray} $\left(\begin{array}{c}1\\3\\-2\end{array}\right)$ \end{eqnarray}$ , b = $\begin{eqnarray} $\left(\begin{array}{c}1\\k^{2}\\-3\end{array}\right)$ \end{eqnarray}$ , c = $\begin{eqnarray} $\left(\begin{array}{c}0\\-k\\k\end{array}\right)$ \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} {k\in\mathcal{R}\neq 0} \end{eqnarray}$ . a.) Zeigen Sie, dass die Vektoren a, b und c für k=1 nicht komplanar sind. $\begin{eqnarray} $\left(\begin{array}{c}1\\3\\-2\end{array}\right)$ \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} s \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\left(\begin{array}{c}1\\1\\-3\end{array}\right)$ \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} t \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)$ \end{eqnarray}$ G.L.S. ist nicht lösbar, da in der 3. Zeile $\begin{eqnarray} -5 \neq -2 \end{eqnarray}$ steht. b.) Für welche Werte von $\begin{eqnarray} {k\in\mathcal{R}\neq 0} \end{eqnarray}$ sind die Vektoren a, b und c komplanar, für welche nicht? $\begin{eqnarray} $\left(\begin{array}{c}1\\3\\-2\end{array}\right)$ \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} s \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\left(\begin{array}{c}1\\k^{2}\\-3\end{array}\right)$ \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} t \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\left(\begin{array}{c}0\\-k\\k\end{array}\right)$ \end{eqnarray}$ 1. Zeile s = 1 2. Zeile $\begin{eqnarray} t = \frac{-3}{k}+k \end{eqnarray}$ t in die 3. Zeile einsetzen und k berechnen $\begin{eqnarray} -3 + k \cdot (\frac{-3}{k}+k) = -2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k= \pm 2 \end{eqnarray}$ t berechnen für k = 2 gilt t = 0,5 für k = -2 gilt t = -0,5 c.) Berechnen Sie a, b und c für k = -1 . $\begin{eqnarray} a = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\left(\begin{array}{c}1\\3\\-2\end{array}\right)$ \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\left(\begin{array}{c}1\\1\\-3\end{array}\right)$ \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\end{array}\right)$ \end{eqnarray}$ d.) Stellen Sie $\begin{eqnarray} d = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\left(\begin{array}{c}-1\\1\\3\end{array}\right)$ \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} f = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} $\left(\begin{array}{c}-1\\1\\3\end{array}\right)$ \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} d + f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d - f \end{eqnarray}$ als Linearkombination der bei c) berechneten Vektoren dar. 1) $\begin{eqnarray} r \cdot a + s \cdot b + t \cdot c = d = f \end{eqnarray}$ G.L.S. aufstellen und die Parameter bestimmen. $\begin{eqnarray} r = \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} s = - \frac{5}{3} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} t = \frac {2}{3} \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} r \cdot a + s \cdot b + t \cdot c = d + f \end{eqnarray}$ G.L.S. aufstellen und Parameter bestimmen. $\begin{eqnarray} r = \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} s = - \frac{10}{3} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} t = \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} r \cdot a + s \cdot b + t \cdot c = d - f \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} d = f \end{eqnarray}$ , ist $\begin{eqnarray} d - f = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r = s = t = 0 \end{eqnarray}$ , damit der Nullvektor als Ergebnis herauskommt.
03.04.2011, 23:14	gast10101010	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat einer eine Antwort?
04.04.2011, 09:51	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplanare Vektoren Sieht gut aus.

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