Funktion mit zwei Variablen - Diverses berechnen

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03.04.2011, 23:23	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion mit zwei Variablen - Diverses berechnen Hallo! Folgende Aufgabenstellung, bei der ein wenig Hilfe ganz nett wäre: Sei $\begin{eqnarray} f(x,y)=sin(x^2+y^2) \end{eqnarray}$ a) Skizzieren Sie die Höhenschichtlinie $\begin{eqnarray} f(x,y)=1 \end{eqnarray}$ b) Skizzieren Sie die Kurve $\begin{eqnarray} z=(f(\frac{\sqrt{\pi } }{4},y) \end{eqnarray}$ , d.h. die Schnittkruve des Funktionsgebirges mit der Ebene $\begin{eqnarray} x=\frac{\sqrt{\pi } }{4} \end{eqnarray}$ c) Berechnen Sie den Gradienten von $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ d) Berechnen Sie die Richtungsableitung von $\begin{eqnarray} f(x,y) \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} (a,b) \neq (0,0) \end{eqnarray}$ in eine allgemeine Richtung e. Was berechnet die Richtungsableitung? e) Berechnen Sie die Richtungsableitung im Punkt latex](a,b) \neq (0,0)[/latex] in Richtung des Nullpunkts. zu a) Wie berechne ich die Höhenschichtlinie? Ich muss ja die Funktion gleich c setzen. $\begin{eqnarray} c=sin(x^2+y^2) \end{eqnarray}$ c=1 lt. Angabe. $\begin{eqnarray} 1=sin(x^2+y^2) \end{eqnarray}$ Nun müsste ich nach y umstellen, ist das richtig? $\begin{eqnarray} y=\sqrt{arcsin(1)-x^2} \end{eqnarray}$ bzw . $\begin{eqnarray} y=\sqrt{\frac{{\pi } }{2}-x^2} \end{eqnarray}$ Wie mach ich weiter oder bin ich ganz auf dem Holzweg? Mir liegt auch eine Lösung vor (muss aber nicht der einzige Lösungsweg sein?) Hier wird aus $\begin{eqnarray} 1=sin(x^2+y^2) \end{eqnarray}$ gefolgert, dass $\begin{eqnarray} x^2+y^2 \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} \frac{{\pi } }{2} \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} \frac{{\pi+4k\pi } }{2} \end{eqnarray}$ ist. Wie skizziere ich diese Funktionen nun? Sin ist im Dreidimnesionalen ja eine Welle, die sich nach allen in alle Richtungen ausbreitet? Danke!
04.04.2011, 00:07	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
zu b) Da blick ich gerade gar nicht durch. Könnte mir jemand sagen, was zu tun ist um die Schnittkurve zu skizzieren? Danke!
04.04.2011, 00:17	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei b) wird $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ konstant gehalten. D.h. man bekommt eine Funktion , die nur noch von $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ abhängt, da $\begin{eqnarray} x=\frac{\sqrt{\pi}}{4} \end{eqnarray}$ Also soll man nur die Funktion $\begin{eqnarray} f(y)=\sin((\frac{\sqrt{\pi}}{4})^2+y^2) \end{eqnarray}$ skizzieren.
04.04.2011, 13:48	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. zu b) Wie skizziere ich den $\begin{eqnarray} f(y)=\sin((\frac{\sqrt{\pi}}{4})^2+y^2) \end{eqnarray}$ ? Mach ich eine "Wertetabelle" und setze Werte für y ein und berechne die Z-Werte? $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=\sin(\frac{\pi}{16}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=\sin(\frac{\pi+16}{16}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=\sin(\frac{\pi+64}{16}) \end{eqnarray}$ Stimmt das so und wie würde ich das ohne Rechner zeichen?... Bitte auch kurz um Rückmeldung zu meinen Ausführungen zu a) Danke!
04.04.2011, 15:59	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
c), d), e) habe ich mittlerweile selbst gelöst Nur b) bereitet mir nach wie vor Schwierigkeiten
04.04.2011, 16:38	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu b) Der Sinus ist $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ - periodisch und achsensymmetrisch. Mit dem Hintergrund würde ich die Werte für $\begin{eqnarray} y=0 ,y=\frac{\pi}{2} ,y=\pi , y=\frac{3\pi}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=2\pi \end{eqnarray}$ einsetzen und dann sollte es kein Problem sein, die Funktion zu skizzieren. EDIT: Ach sry, Punktsymmetrisch ist der . . Der Cos ist achsensymmetrisch.
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04.04.2011, 18:28	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die rasche Antwort, tohuwabou! Wo setze ich die verschiedenen Werte für y ein? $\begin{eqnarray} y=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(y)=\sin((\frac{\sqrt{\pi}}{4})^2+0^2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(y)=\sin(\frac{\pi}{16}) \end{eqnarray}$ Und nun? Ersetze ich $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ durch 3,1415...? Oder sehe ich $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ als 180° an?
04.04.2011, 19:09	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach im normalen Koordinatensystem skizzieren. Du setzt die genannten Werte in die Fkt ein, wie du es schon für 0 gemacht hast. Für pi nimmt man 3,14.., dafür gibt es eine Taste auf dem TR. Du musst deinen Taschenrecher auf Rad einstellen , da du Werte im Bogenmaß eintippst.
04.04.2011, 19:14	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, vielleicht hätte ich noch erwähnen sollen, dass es nicht erlaubt ist einen Taschenrechner zu verwenden... Daher die Schwierigkeiten den Funktionswert zu erhalten.
04.04.2011, 19:45	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, hm dann muss man sich was überlegen. Man weiß ja z.B. ,dass der Sinus von $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ gleich 1 ist, also könnte man schauen, für welche $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ Werte gilt $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{16} + y^2=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ist.
04.04.2011, 19:49	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
Macht Sinn, danke! Setze mich daran, sobald ich zu Hause bin.
05.04.2011, 00:19	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
So, das habe ich nun nachgerechnet. Bei $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ist der Sinus gleich 1. $\begin{eqnarray} y=\sqrt{\frac{7\pi}{16} } \end{eqnarray}$ Bei $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ist der Sinus bei 0. $\begin{eqnarray} y=\sqrt{\frac{15\pi}{16} } \end{eqnarray}$ Bei $\begin{eqnarray} \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray}$ ist der Sinus gleich -1. $\begin{eqnarray} y=\sqrt{\frac{23\pi}{16} } \end{eqnarray}$ Bei $\begin{eqnarray} 0\pi \end{eqnarray}$ ist der Sinus bei 0. $\begin{eqnarray} y=\sqrt{\frac{\pi}{16} } \end{eqnarray}$ Bei $\begin{eqnarray} \frac{-\pi}{2} \end{eqnarray}$ ist der Sinus gleich 1. $\begin{eqnarray} y=\sqrt{\frac{-9\pi}{16} } \end{eqnarray}$ So, da ich mir bereits $\begin{eqnarray} \sin(\frac{\pi}{16}+y^2) \end{eqnarray}$ plotten lassen habe, weiß ich, dass der Graph "in der Mitte" eine Parabel hat. Wie komme ich darauf, dass die Funktion in der Mitte eine Parabel hat? Geht das aus den oben errechneten Werten für y hervor bzw. wenn ich so weitermachen würde?
05.04.2011, 00:40	tohuwabou	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst den Graphen ja nur skizzieren. Denke nicht, dass du es besonders exakt machen musst. Es reicht wahrscheinlich zu skizzieren, dass die Perioden kürzer werden und so weiter. Find die Aufgabe eher ziemlich lästig , denn dafür hat man ja Plotter . Musste mal gucken, ob du vielleicht noch z.B. im Internet so Seiten wie diese http://mathenexus.zum.de/html/analysis/f...es/Sin_allg.htm findest, wo erklärt wird , wie die Parameter sich auf die Sinusfunktionen auswirken. Auf dieser Seite steht aber nicht davon, wenn die Variable quadriert wird, wie hier der Fall. Ich wüsste mir da jetzt auch nicht so zu helfen. Man könnte z.B. auch die Nullstellen der Funktion betrachten und würde so dann festellen, dass sie immer näher zusammenrücken. Für eine Skizze reicht das ja evtl. schon.
05.04.2011, 12:00	HansimGlück	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, danke für die ganze Hilfe!

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