Dimension Durchschnitt

04.04.2011, 09:59	Pustefix91	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension Durchschnitt Hallo Leute, es geht um folgendes: Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum mit dim(v) = 5. $\begin{eqnarray} U_{1}, U_{2} \end{eqnarray}$ seien zwei Unterräume von V mit $\begin{eqnarray} dim(U_{1}) = 4, dim(U_{2}) = 3 \end{eqnarray}$ . a) Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} 2 \leq dim (U_{1} \cap U_{2}) \leq 3 \end{eqnarray}$ b) Geben Sie für $\begin{eqnarray} V = \mathbb R^{5} \end{eqnarray}$ konkrete Beispiele mit $\begin{eqnarray} dim(U_{1} \cap U_{2}) = 2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} dim(U_{1} \cap U_{2}) = 3 \end{eqnarray}$ an. Zu a): Es gilt: $\begin{eqnarray} dim(U_{1}+U_{2}) = 4+3 - dim(U_{1} \cap U_{2}) \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} 4 =dim(U_{1}) \leq dim(U_{1}+U_{2}) \leq dim(V)=5 \end{eqnarray}$ folgt somit direkt die Behauptung. Ist das so richtig? Zu b): Hier würde es mich freuen, wenn mir jemand helfen würde Beispiele zu finden. Wie geht man bei sowas überhaupt am besten vor? Schönen Gruß Pustefix91
04.04.2011, 10:33	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension Durchschnitt Bestimme zuerst einen Unterraum der Dimension 4, wie könnte der ausschauen? Nimm dazu einfach 4 linear unabhängige Vektoren aus V, diese spannen dann einen Unterraum der dimension 4 auf, das ist dann eine Basis von U_1. Aus dieser Basis nimmst du zwei Vektoren heraus und ergänzt diese zwei Vektoren mit einem Vektor der in V liegt jedoch nicht in U_1 und du erhälst eine Basis von U_2. Die erste Aufgabe kann man noch etwas weiter ausführen, aus dem Dimensionssatz folgt zwar $\begin{eqnarray} dim(U_1 \cap U_2) \geq 2 \end{eqnarray}$ , aber dass die Dimension kleiner als 3 ist noch nicht, dazu kann man benutzen, dass gilt: $\begin{eqnarray} \dim (U_1 \cap U_2) \leq \min (\dim(U_1), \dim(U_2)) \end{eqnarray}$ .
04.04.2011, 10:56	Pustefix91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Habe es so: $\begin{eqnarray} B_{1}= \left\{ v_{1} = (1,0,0,0,0), v_{2} = (0,1,0,0,0), v_{3} = (0,0,1,0,0), v_{4} = (0,0,0,1,0)\right\} \end{eqnarray}$ ist Basis von U_1 und $\begin{eqnarray} B_{2} =\left\{ v_{1} = (1,0,0,0,0), v_{2} = (0,1,0,0,0), v_{5} = (0,0,0,0,1) \right\} \end{eqnarray}$ ist Basis von U_2. Dann ist $\begin{eqnarray} dim (U_{1} \cap U_{2}) = 2 \end{eqnarray}$ für diese Basen, oder? Stimmt das so? Bei der a) dachte ich das aufgrund dim(V) = 5, man somit das ganze auch für $\begin{eqnarray} 2 \leq dim(U_{1} \cap U_{2}) \end{eqnarray}$ gezeigt hat? Schönen Gruß Pustefix91
04.04.2011, 11:42	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, schaut gut aus. Ist auch richtig, es gilt natürlich mit Dimensionssatz: $\begin{eqnarray} 4 \leq 7- \dim (U_1 \cap U_2) \leq 5 \Rightarrow -3 \leq - \dim (U_1 \cap U_2) \leq -2 \end{eqnarray}$ und daraus folgt die Behauptung.
04.04.2011, 11:55	Pustefix91	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar. Danke dir

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