Binomialkoeffizient Konvergenz

04.04.2011, 10:15

Ackermann-Fkt

Binomialkoeffizient Konvergenz

Hallo,

hab hier eine Konvergenzaufgabe mit der ich leider überhaupt nicht klar komme:

$\begin{eqnarray*} \frac{\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 2n+1 \\ n \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bedeutet ja

$\begin{eqnarray*} \frac{5*4*3}{3*2*1} \end{eqnarray*}$

also muss ich wohl mit Fakultät arbeiten.

Laut Musterlösung kann ich folgendermaßend umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{(2n)!}{n!*n!} }{\frac{(2n+1)!}{n!(n+1)!} } \end{eqnarray*}$

Ich versteh die Zähler in den Unterbrüchen nicht, wieso n!*n! und n!(n+1)! Forum Kloppe

Danke

04.04.2011, 10:19

Mulder

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RE: Binomialkoeffizient Konvergenz
Du musst doch nur eins zu eins die Definition einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \binom nk = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \end{eqnarray*}$

04.04.2011, 10:43

klarsoweit

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RE: Binomialkoeffizient Konvergenz

Zitat:

Original von Ackermann-Fkt
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bedeutet ja

$\begin{eqnarray*} \frac{5*4*3}{3*2*1} \end{eqnarray*}$

Nein, richtig ist: $\begin{eqnarray*} \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} \end{eqnarray*}$

04.04.2011, 10:52

Mystic

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RE: Binomialkoeffizient Konvergenz
Bei Binomialkoeffizienten ist es in der Regel vorteilhafter mit der Definition

$\begin{eqnarray*} \binom nk = \frac {n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k} \end{eqnarray*}$

zu arbeiten, denn diese Definition funktioniert auch noch für k >n und negative Werte von n, und ist schon einmal von daher der üblichen Definition

$\begin{eqnarray*} \binom nk = \frac {n!}{k!(n-k)!} \end{eqnarray*}$

haushoch überlegen... Als ob das noch zu wenig wäre, ist auch die Berechnung aus algorithmischer Sicht einfacher, wenngleich man dazu noch k durch min(k,n-k) ersetzen sollte... Insbesondere ist also

$\begin{eqnarray*} \binom 54 = \binom 51 = \frac 51 = 5 \end{eqnarray*}$

und damit Meilen entfernt von dem, was da oben als Beispiel steht... geschockt

Edit: Mit "da oben" habe ich natürlich das Eingangsposting gemeint... Augenzwinkern

04.04.2011, 13:09

Ackermann-Fkt

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danke für die Hinweise, da verkopft man sich manchmal so dass man das Offensichtliche nicht sieht

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