Verwirrende Quantile (Value at Risk)

04.04.2011, 10:24

Cel

Verwirrende Quantile (Value at Risk)

Hallo Leute,

ich hoffe, dass das eine einfache Frage ist, aber ich stehe momentan auf dem Schlauch. Es geht um die Berechnung eines Value at Risk mit einer Long-Position. Was das ist, ist eigentlich wurscht, aber wenn einer damit was anfangen kann, um so besser. Jedenfalls habe ich mit Quellen den Weg bis hier gefunden:

$\begin{eqnarray*} VaR_{long}(\alpha) = N S(t) \cdot [\exp(\mu \Delta t + Q_{\alpha}^{\mathcal N(0,1)} \sigma \sqrt{\Delta t}-1)] \end{eqnarray*}$

So, die vorgeschlagene Lösung ist aber

$\begin{eqnarray*} VaR_{long}(\alpha) = N S(t) \cdot [1 - \exp(\mu \Delta t + Q_{1-\alpha}^{\mathcal N(0,1)} \sigma \sqrt{\Delta t})] \end{eqnarray*}$

Diese Q's sind dabei die Quantile der Standardnormalverteilung, also ist $\begin{eqnarray*} Q_{\alpha}^{\mathcal N(0,1)} \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ - Quantil der Standardnormalverteilung, das andere analog.

Meine Frage: Sind diese beiden Formel identisch? Ich mein zwar, sieht eigentlich "schön" aus, aber mir will keine Erklärung dafür einfallen. Vielleicht häng ich auch noch in der Interpretation hinterher, vielleicht stimmt die Formel ja aber auch. Die 1, das Quantil ... das passt alles schön zu Dichten und so weiter. Falls jemand abgeschreckt ist: Eine einfaches "Nein, diese beiden Formeln sind nicht gleich" reicht mir auch. Augenzwinkern

04.04.2011, 14:07

Hubert1965

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RE: Verwirrende Quantile (Value at Risk)
Nein, die Formeln sind nicht identisch.
Wenn sie identisch wären, müsste gelten:

$\begin{eqnarray*} N S(t) \cdot [\exp(\mu \Delta t + Q_{\alpha}^{\mathcal N(0,1)} \sigma \sqrt{\Delta t}-1)] = N S(t) \cdot [1 - \exp(\mu \Delta t + Q_{1-\alpha}^{\mathcal N(0,1)} \sigma \sqrt{\Delta t})] \end{eqnarray*}$

Ich substituiere da mal was:

$\begin{eqnarray*} u := \mu \Delta t + Q_{\alpha}^{\mathcal N(0,1)} \sigma \sqrt{\Delta t} \end{eqnarray*}$

Dann wird daraus:

$\begin{eqnarray*} N S(t) \cdot [\exp(u-1)] = N S(t) \cdot [1 - \exp(u)] \end{eqnarray*}$

Das vereinfache ich zu:

$\begin{eqnarray*} \exp(u-1) = 1 - \exp(u) \end{eqnarray*}$

Daraus könntest du dir durch weitere Umformungen ganz easy einen ganz bestimmten Wert für u ausrechnen, was aber bedeutet, dass diese Gleichheit nur dann gilt, wenn u genau diesen einen ganz speziellen Wert hat. Im Normalfall wird u aber irgend etwas anderes sein, und dann liefern die beiden Formeln unterschiedliche Ergebnisse.

04.04.2011, 16:51

Zellerli

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Ich komme auch zu dem Ergebnis, dass die Formeln nicht übereinstimmen, aber

Hubert1965

Zitat:

Ich substituiere da mal was:

$\begin{eqnarray*} u := \mu \Delta t + Q_{\alpha}^{\mathcal N(0,1)} \sigma \sqrt{\Delta t} \end{eqnarray*}$

Dann wird daraus:

$\begin{eqnarray*} N S(t) \cdot [\exp(u-1)] = N S(t) \cdot [1 - \exp(u)] \end{eqnarray*}$

stimmt so nicht. Du hast offenbar übersehen, dass die beiden Quantile unterschiedlich sind und durfest auf der rechten Seite nicht einfach den Exponenten mit $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ substituieren.

Es ist nämlich: $\begin{eqnarray*} Q_{\alpha}^{\mathcal N(0,1)} = 1-Q_{1-\alpha}^{\mathcal N(0,1)} \neq Q_{1-\alpha}^{\mathcal N(0,1)} \end{eqnarray*}$ (außer für $\begin{eqnarray*} \alpha=0,5 \end{eqnarray*}$ )

04.04.2011, 19:54

Cel

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Da ich ein fleißiges Bienchen war, habe ich jetzt eine Möglichkeit gefunden, auf die gewünschte Formel zu kommen.

Falls sich in Zukunft jemand in diesen Thread verirren sollte, dann kann ich gerne auch etwas zu der Long-Position eines lognormalverteilten Risikofaktors sagen. Das wäre jetzt ein wenig aufwendig, das alles aufzuschreiben, aber wie gesagt: Ich weiß es jetzt.

Danke für eure beiden Posts, die haben mich dann doch noch zum Suchen und Stöbern animiert. Wink

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