Basis bestimmen affine Räume

04.04.2011, 12:20

Pustefix91

Basis bestimmen affine Räume

Guten Tag,

habe bei der folgenden Aufgabe Schwierigkeiten: Sei V= $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2} = (\mathbb Z/2\mathbb Z, x, *) \end{eqnarray*}$ der Körper mit 2 Elementen. Gegebn seien der 4-dimensionale $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2}^{4} \end{eqnarray*}$ und der Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U = Lin(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v_{1} = (1,1,0,0) , v_{2} = (1,0,1,0), v_{3} = (1,0,1,1), v_{4} = (1,1,0,1)<br /> \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie eine Basis von U und von V/U.

Nun es ist dim(U) = 4. Also ist doch $\begin{eqnarray*} B = \left\{ (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) \right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von U. Ist das richtig?

So nun zu V/U. $\begin{eqnarray*} V= \left\{ x+2\mathbb Z\right\} \end{eqnarray*}$ . Darunter kann ich mir noch was vorstellen, aber bei $\begin{eqnarray*} V/U = v + Lin(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}) \end{eqnarray*}$ kann ich mir nichts drunter vorstellen wie das aussieht und erst recht nicht wie ich hier die Basis bestimmen kann. Würde mich freuen, wenn mir da jemand weiter helfen könnte.

Schönen Gruß Pustefix91

04.04.2011, 12:27

lgrizu

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RE: Basis bestimmen affine Räume
Zunächst einmal sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3,v_4 \end{eqnarray*}$ linear abhängig, wie man schnell sieht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\1\\0\\1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , der Unterraum hat also nicht die Dimension 4.

Jetzt bestimme zuerst einmal eine Basis von U.

04.04.2011, 12:53

Pustefix91

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Hm also ich steh wohl gerad ziemlich aufm Schlauch. Ich sehe das die vektoren v_i linear abhängig sind. Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2}^{4} \end{eqnarray*}$ vierdimensional. Also muss $\begin{eqnarray*} dim(U) < dim(\mathbb F_{2}^{4}) \end{eqnarray*}$ sein. Aber wie ich nun die Dimension von U bzw. eine Basis bestimme weiß ich nicht.

04.04.2011, 12:55

lgrizu

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Du nimmst die größtmögliche Anzahl linear unabhängiger Vektoren aus dem Erzeugendensystem von U heraus, das ist dann eine Basis.

Man kann dazu die Vektoren ale Zeilen in eine Matrix schreiben und schauen, wlechen Rang die Matrix hat, durch Zeilenumformungen kann man so auch eine Basis des Zeilenraumes erhalten, die dann ja auch eine Basis für U ist.

04.04.2011, 14:09

Pustefix91

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Ok. Also das mit dem Rang einer Matrix bestimmen ist mir neu, aber ich versuchs dennoch. Also erst mal alles in eine Matrix gepackt gibt
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Nun habe ich gelesen muss man den Gaußalgorithmus anwenden um den Rang der Matrix zu erhalten. Dann kommt bei mir am Ende
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Wenn ich alles richtig gemacht habe, hat somit die Matrix den Rang 3. Somit ist dim(U) = 3 und $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} <br /> \end{eqnarray*}$ eine Basis von U. Stimmt das so?

Schönen Gruß Pustefix91

04.04.2011, 14:32

lgrizu

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Erst einmal würde ich die Vektoren als Zeilen schreiben um dann eine Basis des Zeilenraums zu bestimmen, also eine Menge linear unabhängiger Vektoren.

Du kannst sie natürlich auch als Spalten schreiben, aber dann ist eine Basis des Spaltenraumes zu bestimmen.

Dann frage ich mich, warum du noch immer 4 Basisvektoren hast, wenn die Dimension von U doch drei sein soll.

Das einzige, was richtig ist, ist die Angabe der Dimension, diese ist 3, alles andere ist Murks.

Nun mache einmal einen Schritt nach dem anderen:

Schreibe die Vektoren als Zeilen in eine Matrix und bringe diese auf Zeilenstufenform.

04.04.2011, 14:45

Pustefix91

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Was die Zeilenstufenform ist, ist mir ebenfalls neu. Nie gehört von. Was ist denn das? Hab bis jetzt keine gute Erklärung finden können, werde mal weiter nach surfen...

Schönen Gruß Pustefix91

04.04.2011, 14:50

lgrizu

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Okay, das ist unüblich, Grundlagen der Matrizenrechnung nicht zu kennen, wenn man sich mit Basen auseinandersetzen soll.

Du hast doch oben die Vektoren als Spalten geschrieben und die Zeilenstufenform bestimmt, mit Gauß, mache das gleiche, nur dass du die Vektoren als Zeilen schreibst und nicht als Spalten.

04.04.2011, 15:00

Pustefix91

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Gut. Habe es nun so: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 &- 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Ist das so richtig?

Schönen Gruß Pustefix91

04.04.2011, 15:11

lgrizu

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Die Matrizen sind nicht gleich, also die Gleichheitszeichen kannst du komplett weglassen, die sind falsch.

Dann frage ich mich, warum du mit negativen Zahlen arbeitest, wir bewegen uns im Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ und da gilt 1=-1 oder 1+1=0.

Ansonsten ist es okay so.

Nun sind die ersten drei Zeilen linear unabhängig, sie bilden also eine Basis des Unterraums U.

Nun nehmen wir die ersten drei Zeilen der Matrix, was den Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray*}$ entspricht, diese bilden ebenfalls eine Basis von U.

Jetzt betrachten wir den Vektorraum $\begin{eqnarray*} V/U=\left\{x+U:x \in V \right\} \end{eqnarray*}$ , das ist der sogenannte Quotientenraum von V nach U.

Es ist $\begin{eqnarray*} x+U=\left\{x+u:u \in U \right\} \end{eqnarray*}$ .

Also bestimmen wir zunächst eine Basis des Vektorraumes V, das sollte unproblematisch sein.

04.04.2011, 15:28

Pustefix91

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Es gilt doch: $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2} = \left\{ 1,0\right\} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Dann ist doch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{2} \end{eqnarray*}$ oder?

Schönen Gruß Pustefix91

04.04.2011, 15:30

lgrizu

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Ist V nicht der Vektorraum der Dimension 4 über dem Körper F_2, also $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2^4 \end{eqnarray*}$ ?

Der Körper an sich hätte nur eine einelementige Basis.

Edit: Ich muss jetzt erst mal los, ich schaue heute Abend noch mal rein.

04.04.2011, 15:33

Pustefix91

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Ok. Danke dir aber schon mal für deine Hilfe und Geduld mit mir.

Schönen Gruß Pustefix91

04.04.2011, 15:38

Pustefix91

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Ok, dann wäre $\begin{eqnarray*} B = \left\{ (1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von V.

04.04.2011, 19:15

lgrizu

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Jap, ist richtig.

Nun bilden wir einmal den Quotientenraum, oder besser gesagt wir bilden einige Vektoren aus dem Quotientenraum:

$\begin{eqnarray*} V/U=\left\{x+u:x \in V, u \in U \right\} \end{eqnarray*}$ , nach dem Prinzip "jeder mit jedem".

04.04.2011, 21:09

Pustefix91

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Zitat:

Original von lgrizu
Jap, ist richtig.

Nun bilden wir einmal den Quotientenraum, oder besser gesagt wir bilden einige Vektoren aus dem Quotientenraum:

$\begin{eqnarray*} V/U=\left\{x+u:x \in V, u \in U \right\} \end{eqnarray*}$ , nach dem Prinzip "jeder mit jedem".

Heißt das ich soll jede Basis von V mit jeder Basis von U addieren? Dann wäre V/U=
{ (2,1,0,0),(2,0,1,0),(2,0,1,1),(1,1,0,1),(1,2,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1),(1,0,
1,1),(1,1,1,0),(1,0,0,0),(1,0,2,1)} Wobei ich mich hier frage... die 2en müsste ich doch als 0 schreiben, oder?

Schönen Gruß Pustefix91

04.04.2011, 21:18

lgrizu

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Richtig ausdrücken, jap, ich meine, dass du jeden Basisvektor von U mit jedem Basisvektor von V addieren sollst.

Dann erhälst du eine ganze Fülle von Vektoren, das ist richtig, und 2=0 ist auch richtig in unserem Körper.

Nun sortieren wir die aus, die linear unabhängig sind.

04.04.2011, 21:30

Pustefix91

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Ok. Wie macht man das geschickt? Hierbei wie eben eine Matrix aufstellen dürfte recht umständlich sein. verwirrt

04.04.2011, 21:38

lgrizu

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Zu8erst einmal können wir alle streichen, die doppelt vorkommen.

Welche bleiben übrig?

Wir sehen auch, dass die ersten drei Einheitsvektoren da drin liegen, also kann man die behalten und alle Vektoren erst mal streichen, die eine 0 als letzten Eintrag haben. Augenzwinkern

04.04.2011, 21:53

Pustefix91

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Wieso streicht man die mit der 0 als letzten Eintrag? Übrig bleiben
{ (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,1),(1,0,1,1) }

04.04.2011, 22:07

lgrizu

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Nun nimm die Vektoren heraus, die in U liegen. (behalte si aber im Kopf).

Edit:

Darauf hab ich noch gar nicht geantwortet, sorry:

Zitat:

Wieso streicht man die mit der 0 als letzten Eintrag?

Weil diese darstellbar sind, als (nichttriviale) Linearkombination der ersten drei Einheitsvektoren.

04.04.2011, 22:13

Pustefix91

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(1,1,0,1) und (1,0,1,1). Aber ich habe noch nicht verstanden wozu das ganze wenn ich ehrlich bin verwirrt

Also weshalb muss ich diese rausnehmen?

04.04.2011, 22:38

lgrizu

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Okay, ganz zurück zum Anfang, also zur bestimmung des Quotientenraums.

Ich habe mich auch ein wenig verrant, entschuldige.

Wir haben eine Basis von U und von V bestimmt.

Jetzt ergänzen wir die Basis von U zu einer Basis von V durch den Vektor x und erhalten dann den Raum:

$\begin{eqnarray*} x+ span\left\{\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\\1\\1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Das ist ein affiner Unterraum und die gesuchte Basis von V/U.

Eigentlich wollte ich dich darauf bringen, dass nur noch ein Vektor übrig bleibt, nämlich einer der zwar in V aber nicht in U liegt.

04.04.2011, 22:45

Pustefix91

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Wobei x irgendein Vektor aus V ist? Ist es nicht möglich eine Basis von V/U expliziter anzugeben? Also reicht das schon?

04.04.2011, 22:52

lgrizu

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Nein, x ist ein Vektor aus V, der nicht in U liegt.

Du ergänzt also U zu einer Basis von V durch hinzunhame des Vektors x, obiges ist dann eine Basis von V/U.

04.04.2011, 22:54

Pustefix91

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Ok. Und x darf nicht in U liegen, da es sonst der Nullvektor wäre? Also in V/U?

04.04.2011, 23:52

lgrizu

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Wieso der Nullvektor?

Du darfst den Quotientenraum nicht als Unterraum von V betrachten, das ist er nicht, die Elemente sind von der Form x+U, wobei U ein Unterraum von V ist.

Wenn man wie wir vorhin die Vektoren einmal bildet und dann die herausnimmt, die in U liegen, dann bleiben ein paar Vektoren übrig, diese liegen in V aber nicht in U.

Nehmen wir einmal allgemein an, wir haben einen Vektorraum V der Dimension n und einen Unterraum U der Dimension m mit m<n.

Sei $\begin{eqnarray*} U=span \left\{v_1,...,v_m \right\} \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir nun U zu einer Basis von V erweitern durch Hinzunahme der Vektoren $\begin{eqnarray*} \left\{v_{m+1},....,v_n\right\} \end{eqnarray*}$ , dann bilden die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_{m+1}+U,....,v_n+U \end{eqnarray*}$ eine Basis von V/U.

In unserem Beispiel:

Wir haben vorhin eine Menge von Vektoren ausgerechnet, wir nehmen alle, die in U liegen heraus, denn sie sind ja Bestandteil von U, dann haben wir ein paar Vektoren übrig, nehmen wir einen davon, den Vektor x_1 und bilden x_1+U dann haben wir ein Element aus V/U.

Nun nehmen wir einen zweiten, x_2 und schauen, ob x_2+U bereits darstellbar ist als Vielfaches von x_1+U, wenn nicht, dann haben wir ein zweites Element von V/U.

In unserem Fall hätten wir festgestellt, dass wir einen beliebigen Vektor von den übriggebliebenen hätten nehmen können um x_1+U zu bilden, alle anderen Elemente x_2+U etc. wären ein Vielfaches von x_1+U gewesen.

Edit: Ich lese das selbst gerade und hoffe, es klingt nicht zu verwirrend.

05.04.2011, 08:34

Pustefix91

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Zitat:

Original von lgrizu
Wieso der Nullvektor?

Das dachte ich, da ich mir den Quotientenraum V/U ähnlich wie eine "Restklasse" vorstelle. V/U = x + U. Wäre nun x selbst in U so wäre dies in der Restklasse 0 enthalten.

Zitat:

Du darfst den Quotientenraum nicht als Unterraum von V betrachten, das ist er nicht, die Elemente sind von der Form x+U, wobei U ein Unterraum von V ist.

Wenn man wie wir vorhin die Vektoren einmal bildet und dann die herausnimmt, die in U liegen, dann bleiben ein paar Vektoren übrig, diese liegen in V aber nicht in U.

Nehmen wir einmal allgemein an, wir haben einen Vektorraum V der Dimension n und einen Unterraum U der Dimension m mit m<n.

Sei $\begin{eqnarray*} U=span \left\{v_1,...,v_m \right\} \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir nun U zu einer Basis von V erweitern durch Hinzunahme der Vektoren $\begin{eqnarray*} \left\{v_{m+1},....,v_n\right\} \end{eqnarray*}$ , dann bilden die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_{m+1}+U,....,v_n+U \end{eqnarray*}$ eine Basis von V/U.

In unserem Beispiel:

Wir haben vorhin eine Menge von Vektoren ausgerechnet, wir nehmen alle, die in U liegen heraus, denn sie sind ja Bestandteil von U, dann haben wir ein paar Vektoren übrig, nehmen wir einen davon, den Vektor x_1 und bilden x_1+U dann haben wir ein Element aus V/U.

Nun nehmen wir einen zweiten, x_2 und schauen, ob x_2+U bereits darstellbar ist als Vielfaches von x_1+U, wenn nicht, dann haben wir ein zweites Element von V/U.

In unserem Fall hätten wir festgestellt, dass wir einen beliebigen Vektor von den übriggebliebenen hätten nehmen können um x_1+U zu bilden, alle anderen Elemente x_2+U etc. wären ein Vielfaches von x_1+U gewesen.

Edit: Ich lese das selbst gerade und hoffe, es klingt nicht zu verwirrend.

Nein, klingt es nicht. Ich werde dennoch noch Mal die gesamte Aufgabe durchgehen und wenn irgendetwas unklar ist noch mal posten. Ich muss dir ein großes Lob für deine Bemühungen und deine Hilfe aussprechen. Echt klasse. Freude

Und das alles ohne was dafür zu verlangen. Danke. Mit Zunge

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