Kugeln aus Urne ziehen

04.04.2011, 13:57	poljpocket	Auf diesen Beitrag antworten »
Kugeln aus Urne ziehen Hallo, ich habe wieder mal eine Aufgabe, wo ich nicht weiterkomme: Eine Urne enthalte sieben weisse Bälle, die von eins bis sieben nummeriert sind, und drei schwarze Bälle, die die Nummern 8, 9, 10 tragen. Fünf Bälle werden aus der Urne gezogen, (a) mit Zurücklegen, (b) ohne Zurücklegen. Bestimmen Sie die Verteilungen in den Fällen (a) und (b) von folgenden Zufallsvariablen: X = die Anzahl weisser Bälle in der Auswahl, Y = das Minimum der Nummerierungen in der Auswahl. Ich bin schon mal so weit mit den Überlegungen: Es geht um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, also muss die Summe aller betrachteten Fälle gleich 1 sein. Ich habe eine Kontrolle durchgeführt, und kann so sehen, ob meine Formeln Sinn machen könnten. Anzahl weisser Kugeln ohne Zurücklegen $\begin{eqnarray} P(i + 2 \textrm{ weisse Kugeln}) = \frac{\begin{pmatrix} 7 \\ 2 + i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 - i \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}} \end{eqnarray}$ Diese Formel macht sinn, da man ohne Zurücklegen minimal 2 weisse Kugeln ziehen MUSS. Es wird dann über die drei möglichen schwarzen Kugeln iteriert. Die Kontrolle $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^3 P(i + 2 \textrm{ weisse Kugeln}) = 1 \end{eqnarray}$ stimmt, wie oben schon angedeutet. Anzahl weisser Kugeln mit Zurücklegen $\begin{eqnarray} P(i \textrm{ weisse Kugeln}) = \begin{pmatrix} 5 \\ i \end{pmatrix} \left(\frac{7}{10}\right)^{i} \left(\frac{3}{10}\right)^{5-i} \end{eqnarray}$ Ich habe dort die Binominalverteilung genommen, da ich das Ziehen von Kugeln mit Zurücklegen durch Erfolg (weisse Kugel) oder Misserfolg (schwarze Kugel) von 5 aufeinanderfolgenden Experimenten sehen kann. Die Kontrolle $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^5 P(i \textrm{ weisse Kugeln}) = 1 \end{eqnarray}$ stimmt, wie oben schon angedeutet. Minimum der Nummerierungen ohne Zurücklegen $\begin{eqnarray} P(i \textrm{ ist Minimum}) = \frac{\begin{pmatrix} 10 - i \\ 4 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}} \end{eqnarray}$ Ohne Zurücklegen, ist 6 die höchste Zahl, welche als Minimum vorkommen kann. Ich wähle dann also 4 aus den verbleibenden HÖHEREN Nummern aus. Es gibt immer 10 - i grössere Nummern, im Fall von 6 sind das 7, 8, 9, 10, also genau - wie vorausgesagt - 4. Die Kontrolle $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^6 P(i \textrm{ ist Minimum}) = 1 \end{eqnarray}$ stimmt, wie oben schon angedeutet. Minimum der Nummerierungen mit Zurücklegen Hier komme ich einfach nicht mehr weiter... Hat irgendjemand einen Tipp für mich? Bitte schaut euch meine Überlegungen auch noch an und sagt mir, ob diese stimmen. Vielen vielen Dank, Gruss Julian

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