Bahnkurve , Geschwindigkeit

04.12.2006, 15:05

chris85

Bahnkurve , Geschwindigkeit

Gegeben ist die Bahnkurve $\begin{eqnarray*} \vec{r} (t) = (arctan (t) , arcsin (t) , tan (t)) \end{eqnarray*}$ Bestimmen Sie seine Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} \vec{v} (t) = \frac{d} {dt} \vec{r} (t). \end{eqnarray*}$

So wie ich das jetzt sehe muss ich einfach nur $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ableiten. Doch wie leitet man $\begin{eqnarray*} arctan ... \end{eqnarray*}$ ab?

04.12.2006, 15:29

Divergenz

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RE: Bahnkurve , Geschwindigkeit
Hallo,

zunächst: einfach nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ differenzieren ist richtig.
Die Funktion $\begin{eqnarray*} y=f(x)=\mbox{arctan}x \end{eqnarray*}$ differenziert man, indem man sich die Umkehrfunktion und ihre Ableitung anschaut, oder man hat eine gute Formelsammlung, der man glauben darf! Augenzwinkern

04.12.2006, 15:44

Mathespezialschüler

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Verschoben

04.12.2006, 21:48

chris85

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Irgendwie krieg ich das nicht hin, wie mach ich das mit dem $\begin{eqnarray*} arctan \end{eqnarray*}$ differenzieren, bzw. Umkehrfunktion?

04.12.2006, 22:09

chris85

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Hab nochmal in der Formelsammlung nachgeschaut.
$\begin{eqnarray*} \frac{d arc tan (x)} {dx} = \frac{1}{1+x²} \end{eqnarray*}$
Und die Umkehrfunktion ist laut Formelsammlung:
$\begin{eqnarray*} \frac{d tan (x)} {dx} = \frac{1}{cos²x} \end{eqnarray*}$

Ich versteh aber den Zusammenhang nicht!

04.12.2006, 22:27

Mathespezialschüler

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Etwas vereinfacht gesagt, gilt:
Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine differenzierbare, umkehrbare Funktion mit einer Ableitung ohne Nullstellen, so ist auch die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ differenzierbar und es gilt:

$\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \end{eqnarray*}$ .

Beachte nun noch, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm d\tan x}{\mathrm dx}=\frac{1}{\cos^2x}=\tan^2x+1 \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

04.12.2006, 22:56

chris85

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Irgendwie steh ich gerade voll auf der Leitung! Kannst du mir das mal konkret im Fall $\begin{eqnarray*} arc tan x^-1 = tan x \end{eqnarray*}$ zeigen?

04.12.2006, 23:00

Mathespezialschüler

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Für $\begin{eqnarray*} x=f(y)=\tan y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} y=f^{-1}(x)=\arctan x \end{eqnarray*}$ und damit:

$\begin{eqnarray*} (\arctan x)'=\frac{1}{\tan'(\arctan x)}=\frac{1}{1+(\tan(\arctan x))^2}=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

05.12.2006, 17:50

ErRoRr-FuNCtiOn

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Hab das gleiche Problem! Ich versteh aber die einzelnen Schritte einfach nicht!
Kann mir die jemand kurz erklären wieso man das genau so macht?
Wäre echt super nett. Danke

05.12.2006, 22:22

Mathespezialschüler

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Wieso man was genau wie macht? verwirrt

Gruß MSS

05.12.2006, 23:31

chris85

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Also das hier versteh ich halt nicht. Wie man darauf kommt. $\begin{eqnarray*} (\arctan x)'=\frac{1}{\tan'(\arctan x)}=\frac{1}{1+(\tan(\arctan x))^2}=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ .

Weiß auch nicht wie ich mir das vorstellen kann,bzw. herleiten soll.

05.12.2006, 23:50

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
$\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(x)=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \end{eqnarray*}$ .

Da stehts.

Gruß MSS

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