Quadratische Funktion mit positivem Definitionsbereich

04.04.2011, 15:58	1cetea	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Funktion mit positivem Definitionsbereich Meine Frage: Hallo zusammen, ich möchte die Nullstelle der Ableitung einer konkaven, bivariaten Maximum-Likelihood-Funktion berechnen. Ich komme dabei immer wieder auf eine Form wie diese: $\begin{eqnarray} \exp(2x)+a \exp(x) - b = 0 \end{eqnarray}$ Wenn ich versuche exp(x) durch Anwendung der binomischen Formel zu separieren wird die Funktion unglaublich hässlich (a und b sind unschöne Terme) und lässt sich (durch mich) nicht weiter vereinfachen. Allerdings interessiert mich ja ohnehin nur die (eine) positive Nullstelle, da exp(x) immer positiv ist. Aus der Konkavität der ML-Funktion folgt, dass es nur genau eine solche Nullstelle geben kann. Gibt es da einen anderen Weg? Könnt ihr mir helfen? Danke und Grüße, Icetea Meine Ideen: Folgende Idee habe ich, komme aber nicht so recht weiter: - Wenn man die Funktion am Scheitelpunkt punkt- statt achsenspiegelt, erfüllt die resultierende monoton steigende Funktion den gleichen Zweck. Ich könnte einfach dort nach einer Nullstelle suchen. Falls die Nullstelle negativ wäre, könnte ich andersrum spiegeln. Allerdings kenne ich hierfür keine geschlossene Form (ohne Fallunterscheidung). Bin ich völlig auf dem Holzweg?
04.04.2011, 16:01	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
schreibe dir $\begin{eqnarray} exp(2x) \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} exp(x)^2 \end{eqnarray}$ und substituiere dann u=exp(x). dann löse die quadratische gleichung...habs nicht durchgerechnet, müsste aber der richtige weg sein
04.04.2011, 16:31	Eistea	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schultz, das stimmt natürlich. Ich habe auch genau das versucht. Allerdings bekomme ich keine zufriedenstellende Lösung mit diesem Ansatz. Als Lösungen erhalte ich Wurzeln aus langen Summen. Vielleicht ein wenig konkreter: Ich habe eine konkave, bivariate ML-Funktion f(x_1, x_2). Die zwei partiellen Ableitungen nach x_1 und x_2 ergeben folgende Werte für die Nullstelle: $\begin{eqnarray} <br /> x_1 = \log \bigg( \frac{m_1^+}{m_1^-} \times \frac{n^{-+} \exp(x_2) + n^{--} }{n^{++} \exp(x_2) + n^{+-}}\bigg)\\<br /> x_2 = \log \bigg( \frac{m_2^+}{m_2^-} \times \frac{n^{+-} \exp(x_2) + n^{--} }{n^{++} \exp(x_2) + n^{-+}}\bigg)<br /> \end{eqnarray}$ Dabei sind $\begin{eqnarray} <br /> n^{--}+n^{+-}+n^{-+}+n^{++} = n<br /> \end{eqnarray}$ die Größen von vier disjunkten Teilmengen. Aber das ist hier egal. Es sind auf jeden Fall positive, natürliche Zahlen, genau wie auch die m's: $\begin{eqnarray} m_1^+ + m_1^- = m = m_2^+ + m_2^- \end{eqnarray}$ Setze ich nun die eine Lösung in die andere ein, so komme ich auf die oben genannte quadratische Form, diese lässt sich aber nicht zufriedenstellend auflösen. Ich will nicht ausschließen, dass das mit meinen Rechenqualitäten zusammenhängt. Hast Du vielleicht noch einen weiteren Tipp, wie man eine quadratische Funktion auflösen kann, bei den man schon vorher weiß, dass x nur positiv sein kann? Oder wie ich cleverer zu einer Lösung komme? Vielleicht kann man auch die Tatsache ausnutzen, dass die m's und n's immer positive, natürliche Zahlen sind? Danke und viele Grüße, Eistea
04.04.2011, 16:50	schultz	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn ich die quadratische gleichung $\begin{eqnarray} \exp(2x)+a \exp(x) - b = 0 \end{eqnarray}$ löse komme ich auf $\begin{eqnarray} x_1=ln(-a/2+\sqrt{a^2/4+b}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2= ln(-a/2-\sqrt{a^2/4+b}) \end{eqnarray}$ . was stellt dich daran nicht zufrieden bzw was stört dich daran?

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