Mehrdimensionale Funktionen, Nullstellen und extrema

04.04.2011, 16:24

sHii

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Mehrdimensionale Funktionen, Nullstellen und extrema

Meine Frage:
1)
Ich würde gerne wissen wie ich die Extrema einer mehrdimensionalen Funktion R² ->R² ermitteln kann. Die Jakobimatrix = 0 zu setzen ist dann ja nicht möglich oder? Wie sähe die Rechenvorschrift dafür aus?

2)
Meine zweite Frage ist genau umgedreht :-). Ich würde gerne wissen, wie ich die Nullstellen einer R² -> R ausrechnen kann. Wie würde das Verfahren aussehen um dx, dy auszurechnen und weiter zu iterieren?

mfg Martin

Meine Ideen:
zu 1)
Wenn diese vom R² -> R abgebildet wird ist dies sicherlich einfach. Ich bilde den Gradienten und setze diesen 0. Danach löse ich nach Gauß und prüfe mit Hessematrix.
Wenn ich aber nun vom R² -> R² abbilden möchte habe ich ja eine vektorwertige funktion und kann "nur" die Jakobimatrix aufstellen.

zu 2)
Hierbei weiss ich soviel, dass ich wenn ich eine mehrdimensionale Fkt. vom R² -> R², also vektorwertig, besitze, ich das Newtonverfahren anwenden kann. Das sieht dann wie folgt aus: J(f)*(dx,dy)=-f(x,y)
Nun rechne ich dx und dy aus und addiere es mit meinem Startwert xo,yo um meine neue Näherung zu bestimmen.
Mit einer R² -> R Fkt. kann ich ja "nur" den Gradienten bestimmen.

04.04.2011, 17:08

Leopold

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Um Extrema bestimmen zu können, braucht man eine Relation, die Elemente der Größe nach vergleicht. Da der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ keine Ordnung trägt, ist die Frage nach Extremwerten von Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ nicht sinnvoll.

"Nullstellen" von Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ sind letztlich Kurven in impliziter Darstellung, ein weites und sehr unübersichtliches Gelände ...

04.04.2011, 17:09

sHii

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Ich habe da mal noch 2 Beispiele erarbeitet:

zu 1.)

http://upload.wikimedia.org/math/3/9/6/3966de689551420ca4340c4c7a5e75c4.png

http://upload.wikimedia.org/math/d/2/a/d2a655a1714044cefc1b099c0aa5984f.png
Damit ist die Jakobimatrix:

http://upload.wikimedia.org/math/f/0/9/f096c3df25efb841ae42474972509816.png

Die kann ich = 0 setzten und dann ausrechnen?!

zu 2.)

f(x,y,z)= 2/3*y3 +x² -2xy +xz -x -z +1

Wenn die Funktion vom R³ in den R geht ist die Jakobimatrix ja gleich gradf(x,y,z)^T

Dadurch ergibt sich doch:

(2xo-2yo+zo-1, 2yo²-2xo, xo-1)* (dx,dy,dz)^T = -f(xo,yo,zo)

mit beispielsweise xo=yo=zo=2 als startwert

Somit folgt doch:

(1, 4, 1)*(dx,dy,dz)^T = -7/3

Wie löse ich dies jetzt nach dx, dy, dz auf?

04.04.2011, 17:27

sHii

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Es geht mir ja hauptsächlich darum zu verstehen wie der zusammenhang zwischen dem gradienten und der Jakobimatrix besteht, bzw wie man damit rechnet..
Beide beschreiben eigentlich das gleiche.. es kommt halt nur darauf an ob n=1 oder etwas anderes ist. Dann ist der gradient ja nur als zeilenvektor geschrieben.

Bei der Nullstellenberechnung nach Newton benutze ich aber ja die Jakobimatrix und führe eine Matrix vektor Multiplikation aus.
Anders wäre es ja mit dem gradienten da müsste ich ja das skalarproduckt bilden oder?

Und bei extrema berechnen sieht es auch bescheiden aus wenn ich eine jakobi matrix habe. Den gradienten = 0 setzen ist sehr einfach aber J(f)= 0.. hmm schwierig

mfg

04.04.2011, 18:58

Dopap

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Meiner Meinung nach gilt bei Extrema $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
Notwendige Bedingung für Extrema ist $\begin{eqnarray*} \mathfrak {grad} f(\vec x) =\vec 0 \end{eqnarray*}$
Hinreichende Bedingung ist, dass für eine Lösung die Eigenwerte der Hesse Matrix alle positiv ( MAX) oder alle negativ sind (MIN) ( negativ definit ) .
Ansonsten indefinit=kein Extrema "Sattelpunkt"

04.04.2011, 19:05

sHii

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Ja soweit war ich ja auch schon seit einiger Zeit Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das Problem ist nur.. wenn ich eine Funktion habe die nicht so aussieht: F(x,y)= x³-2xy²+4x²-6 sondern: F(x,y,)=(3x³y²+4x²y-3, 5x²y³-2x³y²)
Dann kann ich ja nur die Jakobimatrix bestimmen. und diese = 0 zu setzen dürfte schwer zu lösen sein oder??

Mfg

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04.04.2011, 19:15

Leopold

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Zitat:

Original von sHii
die nicht so aussieht: F(x,y)= x³-2xy²+4x²-6 sondern: F(x,y,)=(3x³y²+4x²y-3, 5x²y³-2x³y²)

Dazu habe ich bereits Stellung genommen. Nur hast du meinen Beitrag völlig ignoriert.

04.04.2011, 19:20

sHii

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Zitat:

Original von Leopold
Um Extrema bestimmen zu können, braucht man eine Relation, die Elemente der Größe nach vergleicht. Da der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ keine Ordnung trägt, ist die Frage nach Extremwerten von Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ nicht sinnvoll.

Doch, aber ich habe es leider nicht verstanden um ehrlich zu sein. Heisst das, dass keine Extrema dort existieren?

mfg

04.04.2011, 19:21

Dopap

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wie Leopold sagte: besser lesen.
ich sagte Hesse Matrix:

$\begin{eqnarray*} H_f=\left( \frac {\partial ^2 f(\vec x)}{\partial x_i \partial x_j} \right)_{i= 1... n,j= 1...n} \end{eqnarray*}$

Im Fall 2 liegt nicht $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ vor

04.04.2011, 19:21

Leopold

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Es gibt kein Größer oder Kleiner im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Also kann es auch keinen größten oder kleinsten Wert geben.

04.04.2011, 19:32

sHii

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ok dann habe ich jetzt zur kenntnis genommen.. im R² -> R² und beispielsweise R³ -> R² gibt es keine extremwerte.. ok jetzt wo du es sagst.. klar.. man kann ja auch nur die Normen vergleichen.. verdammt ;P

Aber zur anderen Frage.. Wie finde ich Nullstellen einer Funktion R² oder R³ -> R.. Normalerweise nähere ich diese doch mit dem Newtonverfahren an. Dazu muss ich aber die Jakobimatrix aufstellen:

J(f)*(dx,dy,dz)^T = -f(x,y,z)

Gibt es diese Schreibweise auch für den gradienten den ich ja dann nur aufstellen kann..? der ist ja nur ein Zeilenvektor (transponierte einzeilige jakobimatrix)

da kommt man ja immer auf so eine lösung:

Beispiel:

(2, 6, 3) * (dx,dy,dz) = 13 wenn ich für x,y,z eine zahl als näherung einsetze und dx,dy,dz der korrekturvektor sei.

mfg

Danke für die antowrten bis jetzt =)

04.04.2011, 19:37

Leopold

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Zitat:

Original von sHii
Aber zur anderen Frage.. Wie finde ich Nullstellen einer Funktion R² oder R³ -> R.

Auch dazu habe ich bereits in meinem ersten Beitrag Stellung genommen.

04.04.2011, 19:50

sHii

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Ja du sagtest dass es da schwieriger werden könnte.. bei quadratischen termen beispielsweise läuft es dann meist auf eine art ellipse oder kreis heraus oder? zumindest falls R² -> R
Aber was ist wenn ich eine Funktion dieser Bauart habe: f(x,y,z)= y³+x²-2xy+xz-x-z+1
Dann gestaltet sich eine Kurvendiskussion doch schwierig weil ich bei den Nullstellen schon scheitere.. Extrema über den gradienten klar.. Hm und Newton hilft mir nicht viel weil ich keine jakobimatrix aufstellen kann

mfg

04.04.2011, 20:15

Dopap

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Zitat:

Original von Dopap

Notwendige Bedingung für Extrema ist $\begin{eqnarray*} \mathfrak {grad} f(\vec x) =\vec 0 \end{eqnarray*}$
Hinreichende Bedingung ist, dass für eine Lösung die Eigenwerte der Hesse Matrix alle positiv ( MAX) oder alle negativ sind (MIN) ( negativ definit ) .
Ansonsten indefinit=kein Extrema "Sattelpunkt"

Obiges Programm ausführen. Nachschauen was Eigenwerte sind. berechnen...

Jede Menge Arbeit wartet auf dich!

04.04.2011, 20:20

sHii

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Ja nur suche ich jetzt nach den Nullstellen einer Funktion die von einem R² in R Abbildet.. wo der Ansatz über das Newtonverfahren nicht mehr funktioniert.
Das was von dir vorgeschlagen wird ist extremwertberehnung. Das kann ich soweit.

mfg

04.04.2011, 20:39

sHii

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Nur noch mal allgemein.. wie kann ich mir soetwas vorstellen: R² -> R²

Ich stecke 2 Werte rein und bekomme eine Funktion mit 2 Ausgabewerten?

Im R² -> R ist es ja so.. ich habe x und y Werte und bekomme dann in Abhängigkeit einen Z Wert.. das lässt sich soweit auch gut plotten.. aber so siehts dann schwieriger aus mit der vorstellung.
was beudeutet in R² abbilden?

bildet ein Vektor in R² ab? Ich stecke ja 2 Werte rein.. x und y und bekomme letztendlich einen Pfeil mit Länge und Richtung heraus.. Also in den R oder was? Steh grad n bissl aufm Schlauch.

mfg

04.04.2011, 21:32

Dopap

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Extremwert also verstanden.
Jetzt $\begin{eqnarray*} f(\vec x)=0 \end{eqnarray*}$
Beispiel: sei $\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^2+y^2-25 \end{eqnarray*}$

f(x,y)=0 definiert eine Relation in x und y die einen Kreis in der x-y-Ebene darstellt:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=5^2 \end{eqnarray*}$ soweit klar?
------------------------------------------------------------------------------------
Sei $\begin{eqnarray*} \vec f(x,y)=(x^2+y^2-25,x^2-y^2-12) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec f(x,y)=\vec 0 \end{eqnarray*}$ führt auf ein nichtlineares GS.

eine Gleichung ist ein Kreis, die Andere eine Hyperbel. Die schneiden sich in 4 Punkten.
Diese kann man elementar aus den Gleichungen bestimmen,
$\begin{eqnarray*} \vec x=(\pm \frac {\sqrt{74}}{2},\pm \frac {\sqrt{26}}{2}) \end{eqnarray*}$
oder im komplizierten Fall mit Newton approximieren.

immer genau im Blick haben um was es geht..

04.04.2011, 21:58

sHii

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Gut hab ich dann soweit verstanden danke.. Ich entnehme dem also: R² -> R scharf hingucken und iwie auf Kreis oder Ellipse oder Parabel zurückführen..
Beim anderen kann ich aber auch per Newtoniteration rangehen falls ich das nicht auf den ersten blick sehe (Fall: R² -> R²)

Was ich jetzt noch gerne wüsste:

Wie stelle ich mir R² -> R² vor? x,y -> w,z oder sowas? gibt es da vllt n bild zu? traurig

traurig

ist die vektorschreibweise (x, y) im R² oder R? ich kann sie ja aufmalen indem ich x und y achse aufmale und dann die punkte eintrage und mit 0,0 verbinde.. ist dann ne Pfeil.. Abbildung die jem x,y Tuple eine Länge und richtung zuordnet.. also R² -> R² oder? und deswegen kann man da keine extrema bestimmen .. maximal normen vergleichen.. hmm steh was das angeht grad bissl aufm schlauch..

danke vielmals :-)

04.04.2011, 23:43

Dopap

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Zitat:

Original von sHii

Wie stelle ich mir R² -> R² vor? x,y -> w,z oder sowas? gibt es da vllt n bild zu? traurig

traurig

ist die vektorschreibweise (x, y) im R² oder R? ich kann sie ja aufmalen indem ich x und y achse aufmale und dann die punkte eintrage und mit 0,0 verbinde.. ist dann ne Pfeil.. Abbildung die jem x,y Tuple eine Länge und richtung zuordnet.. also R² -> R² oder? und deswegen kann man da keine extrema bestimmen .. maximal normen vergleichen.. hmm steh was das angeht grad bissl aufm schlauch..

Ein Tupel ist ein Punkt . Das Zugeordnete ist auch ein Punkt! NICHT die VERSCHIEBUNG!
Eine Abbildung R^2->R^2 ordnet jedem Punkt der Def-Menge einen anderen Punktzu.
das geschieht meist stetig.
Vorstellbar wie die stetige Verzerrung eines Gummituches in allen möglichen Richtungen und Stärken. Wie wenn jemand einen schönen gleichmässigen Pizzateig, in verschiedenste Weise deformiert...

Wenn du zur Anschauung Punkt und Bildpunkt mit Pfeilen verbindest entsteht ein visuelles Bild der Verzerrung in der Ebene..

04.04.2011, 23:50

Dopap

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kauf dir doch 'nen wirklich guten grafikfähigen Taschenrechner, der in der Lage ist diese Abbildungen darzustellen. Der kann dann auch ein 3-D Modell , drehbar im Raum von f(y,y) darstellen. ( HP 50g ca.150E)

05.04.2011, 12:44

sHii

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Gut danke habs soweit verstanden..

ist es möglich vom R -> R² herzustellen?

bsp:

f(x)= (x²+2x+4, 5x - 3)

ich stecke einen wert rein und bekomme ein tupel raus?

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