Heun'sches Verfahren - Stabilität

04.04.2011, 18:25	RanDom21	Auf diesen Beitrag antworten »
Heun'sches Verfahren - Stabilität Hallo! Ich habe das Heun'sche Verfahren $\begin{eqnarray} y_{k+1}= y_k + \frac{h}{2}[ f(x_k,y_k)+f(x_{k+1},y_k+h f(x_k,y_k))] \end{eqnarray}$ gegeben. Nun soll ich herrausfinden für welche Parameter $\begin{eqnarray} z= \lambda h \end{eqnarray}$ das Verfahren A-stabil ist. Mit der Testfunktion $\begin{eqnarray} f(x,y) = \lambda y \end{eqnarray}$ komme ich auf: $\begin{eqnarray} y_{k+1} = y_k+ h\lambda y_k+\frac{(h\lambda)^2}{2}y_k = y_k(1+h\lambda+\frac{(h\lambda)^2}{2}) \end{eqnarray}$ Also ist meine Stabilitätsfunktion $\begin{eqnarray} R(z) = 1+z+\frac{z^2}{2} \end{eqnarray}$ Nun soll ich für das Stabilitätsgebiet S alle $\begin{eqnarray} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ bestimmen, sodass $\begin{eqnarray} \|R(z)\| \leq 1 \end{eqnarray}$ gilt. Ich habe jetzt versucht den Betrag auszurechnen. Mein Versuch: Mit $\begin{eqnarray} z = a + bI \end{eqnarray}$ komme ich auf $\begin{eqnarray} \| 1 + a + bI + \frac{(a+bI)^2}{2} \| = \| ( 1+ a + \frac{a^2-b^2}{2} + (b+ab)I\| = \sqrt{(1+a+\frac{a^2-b^2}{2})^2+(b+ab)^2} \end{eqnarray}$ Nach dem Ausmultiplizieren komme ich auf $\begin{eqnarray} \sqrt{ 1 + 2a +2a^2+a^3 + \frac{a^4}{4}-b^2+b^4} \leq 1 \end{eqnarray}$ Hier weiß ich nicht mehr weiter. Komme ich damit auf ein Ergebnis? Oder ist das der falsche Weg und man muss das anders angehen?

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