Integration

04.04.2011, 19:01

TiniBlume

Integration

Meine Frage:
hallo zusammen

versuche gerade eine integralgleichung zu lösen und dreh mich im kreis.

die aufgabe heisst:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{x}{x^2+4x+5} dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zunächst hab ich schonmal den nenner richtung grundintegral bewegt indem ich quatratisch ergänzt habe.

also $\begin{eqnarray*} \int\frac{x}{(x+2)^2+1} dx \end{eqnarray*}$

das x im zähler stört mich nun aber.
meine vermutung ist, dass nun die partielle integration angewendet werden muss.

$\begin{eqnarray*} \int u(x)*v'(x)dx \end{eqnarray*}$

darf ich nun mein x als v'(x) nehmen?

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{(x+2)^2+1}*x \end{eqnarray*}$

ich kann im nächsten schritt ja nicht eindeutig sagen was v(x) ist da der vorfaktor beliebig ist.... mmmh

kann jemand helfen???

gruß tini

04.04.2011, 19:21

lgrizu

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RE: Integration
Partialbruchzerlegung sollte zum Ergebnis führen, wenn sie denn bekannt ist.

04.04.2011, 19:34

TiniBlume

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der nenner hat doch garkeine nullstellen!
wie soll ich denn da was zerlegen?

04.04.2011, 20:08

lgrizu

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Stimmt, die Stammfunktion ist auch nicht allzu einfach zu bestimmen.
Substitution sollte helfen, dann kan das ganze darauf hinaus laufen, eine Stammfunktion der Ableitung des arctan zu bestimmen.

04.04.2011, 20:21

TiniBlume

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hab ich auch versucht, aber die ableitung des nenners ergibt 2x+4.
dann lässt sich das x immernoch nicht rauskürzen.

komm auf:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{u}*\frac{du}{2x+4} \end{eqnarray*}$

ohne die blöde 4, käm ich ja nun weiter!

welche substitution meinest du genau?

vielen dank,

Tini

04.04.2011, 20:24

TiniBlume

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vergessen!!

deine idee hatte ich auch im kopf, aber dann müste ich ja auf 1/(u^2+1) kommen. aber das x steht ja im zähler.... da häng ich auch..lol

04.04.2011, 20:26

lgrizu

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Substituiere $\begin{eqnarray*} u=x+2 \end{eqnarray*}$ , dann erhälst du:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{(x+2)^2+1} \dx =\int \frac{u-2}{u^2+1} \, du \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} (\arctan (u))'=\frac{1}{u^2+1} \end{eqnarray*}$ haben wir also:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{(x+2)^2+1} \dx =\int \frac{u-2}{u^2+1} \, du = \int (u-2) \cdot (\arctan (u))' \, du \end{eqnarray*}$

04.04.2011, 20:50

TiniBlume

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also erst substituieren und dann partiell integrieren.... vielen dank!

04.04.2011, 20:56

lgrizu

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Jap, den letzten Schritt solltest du dann ja selbst hinbekommen.

Kannst dein Ergebnis dann ja noch posten wenn du dir unsicher sein solltest.

04.04.2011, 21:30

Tharion

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das wäre aber auch einfacher gegangen:

also $\begin{eqnarray*} \int\frac{x}{(x+2)^2+1} dx \end{eqnarray*}$

dann gänge es so weiter.(wenn dich das x stört, klammer es aus.)

$\begin{eqnarray*} \int x*\frac{1}{(x+2)^2+1} dx \end{eqnarray*}$

und dann partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} x*1*artan(x+2)-\int 1*1*arctan(x+2) \end{eqnarray*}$

die Integralfunktion von arctan(x) sollte man auswendig gelernt haben. Die ist immer wichtig.

Edit lgrizu: Lösung teilweise entfernt.

$\begin{eqnarray*} \int arctan(x) dx = x*arctan(x)-\frac{ln(x^2+1)}{2} \end{eqnarray*}$

im ln wird die funktion die im arctan steht, mit sich selbst multipliziert

deswegen gilt $\begin{eqnarray*} \int 1*1*arctan(x+2) dx = (x+2)*arctan(x+2)-\frac{ln(x^2+4x+4+1)}{2} \end{eqnarray*}$

also muss man am ende rechnen:

$\begin{eqnarray*} x*1*artan(x+2)-(x+2)*arctan(x+2)-\frac{ln(|x^2+4x+4+1|)}{2} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} x*1*artan(x+2)-x*arctan(x+2)+2*arctan(x+2)-\frac{ln(|x^2+4x+4+1|)}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int\frac{x}{x^2+4x+5} dx = 2*arctan(x+2)-\frac{ln(|x^2+4x+4+1|)}{2} \end{eqnarray*}$

Edit lgrizu: Lösung wieder eingefügt.

04.04.2011, 21:50

lgrizu

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Zitat:

Original von Tharion
das wäre aber auch einfacher gegangen:

Da steht doch genau das, was gerade gemacht wurde, nur eben ohne die Substitution, die lediglich einen Rechenschritt erfordert und das ganze etwas übersichtlicher macht.

Was du also mit "einfacher" meinst ist mir schleierhaft.

Und: Bitte keine Komplettlösungen posten, ich habe die Lösung deshalb teilweise entfernt, füge sie aber ggf. wieder ein.

05.04.2011, 17:40

TiniBlume

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hallo nochmal...
sorry, hab gestern nichts mehr mitbekommen aber versuche abschließend nochmal zusammenzufassen um mein ergebnis zu überprüfen!

also:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{x^2+4x+5} dx \end{eqnarray*}$

quatratisch ergänzt um ein stammintegral zu erhalten:
$\begin{eqnarray*} \int x* \frac{1}{(x+2)^2+1} dx \end{eqnarray*}$

dann substituiert:
$\begin{eqnarray*} u=x+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=du \end{eqnarray*}$

mein integral sieht nun so aus(ich lass das x stehn, da es eh unverändert bleibt)):
$\begin{eqnarray*} \int x*\frac{1}{u^2+1}du \end{eqnarray*}$

dann der ansatz zur partiellen integration:
$\begin{eqnarray*} I=x*tan^{-1}(u)-\int 1*tan^{-1}(u) du \end{eqnarray*}$

und dann muss ich doch nochmal nochmal ansetzen!?
also:
$\begin{eqnarray*} I=x*tan^{-1}(u)-u*tan^{-1}(u)-\int\frac{u}{u^2+1}du \end{eqnarray*}$

nun hab ich wieder substituiert:
$\begin{eqnarray*} w=u^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dw}{du}=2u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} du=\frac{dw}{2u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=x*tan^{-1}(u)-u*tan^{-1}(u)-\int\frac{u}{u^2+1}du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=x*tan^{-1}(u)-u*tan^{-1}(u)-\int\frac{u}{w} *\frac{dw}{2u} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=x*tan^{-1}(u)-u*tan^{-1}(u)-\frac{1}{2} ln|w| \end{eqnarray*}$

dann zurücksubstituieren:

$\begin{eqnarray*} I=x*tan^{-1}(x+2)-u*tan^{-1}(x+2)-\frac{1}{2} ln|(x+2)^2+1| \end{eqnarray*}$

das wär dann meine lösung aber mein taschenrechner sagt mir was anderes, oder vielleicht das selbe und ich sehs nur nicht!

nämlich:
$\begin{eqnarray*} I=\frac{1}{2} *ln|(x+2)^2+1|-2*tan^{-1}(x+2) \end{eqnarray*}$

wo liegt mein fehler???

und nochmal vielen dank für die unterstützung!!!

Gruß Tini

05.04.2011, 17:48

lgrizu

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Du musst das x auch substituieren, mit u=x+2 ----> x=u-2, das hab ich idr oben doch schon vorgemacht.

05.04.2011, 18:02

TiniBlume

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dann kommt doch genau das selbe raus, oder!

dann schleppe ich das (u-2) doch bis zum allerletzen schritt mit und dann setz ich für u wieder x+2 ein. also hab ich wieder x!!!
ob da x oder u-2 steht macht doch keinen unterschied, da die ableitung von beiden 1 ergibt. (für den rechten Teil der gleichung)
oder bin ich da auf dem holzweg???

wird mir ja schon fast peinlich hier!! verwirrt

gruß tini

05.04.2011, 18:28

lgrizu

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Zuerst einmal kann man x nicht nach u integrieren.

Dann sollte das ganze so ausschauen:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{(x+2)^2+1} \dx =\int \frac{u-2}{u^2+1} \, du = \int (u-2) \cdot (\arctan (u))' \, du = \int u \cdot (\arctan (u))' \, du-2 \cdot \int (\arctan (u))'\, du<br /> = \int u \cdot (\arctan (u))' \, du - 2 \cdot \arctan (u) \end{eqnarray*}$ .

Nun kann man das verbleibende Integral partiell integrieren, ganz am Ende ist dann noch eine Stammfunktion des arctan zu bestimmen und zusammen zu fassen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} I=\frac{1}{2} *ln|(x+2)^2+1|-2*tan^{-1}(x+2) \end{eqnarray*}$

Das hier ist richtig.

Edit: Es ist allerdings auf die Notation zu achten, denn wie gesagt, x kann nicht nach u integriert werden.

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