Funktion auf H1, Surjektivität

04.04.2011, 20:03

Merlinius

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Funktion auf H1, Surjektivität

Hi, also meine Aufgabe lautet:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f: H^1(\mathbb R^2\setminus 0)\rightarrow\mathbb R, [u] \mapsto \int_0^{2\pi} <u(cos \varphi, sin \varphi), (-sin \varphi, cos \varphi)>d \varphi \end{eqnarray*}$
Zeige, dass f wohldefiniert und surjektiv ist.

$\begin{eqnarray*} H^1 \end{eqnarray*}$ steht hier für $\begin{eqnarray*} Kern(rot)/Bild(grad) \end{eqnarray*}$

Ich habe zwei Fragen.

1. Warum nimmt man bei dieser Funktion wohl die 0 aus dem Definitionsbereich?
2. Ist folgender Beweis zur Surjektivität korrekt:

Sei $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig, $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{r}{2\pi}, u: \mathbb R^2\setminus 0\rightarrow \mathbb R^2, (x_1, x_2) \mapsto (-\lambda x_2, \lambda x_1) \end{eqnarray*}$

Dann ist u offenbar eine glatte Funktion und $\begin{eqnarray*} u \in Kern(rot) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} [u] \in H^1(\mathbb R^2\setminus 0) \end{eqnarray*}$

Ferner $\begin{eqnarray*} f([u])=\int_0^{2\pi} <\lambda (-sin \varphi, cos \varphi), (-sin \varphi, cos \varphi)> d \varphi = \lambda \int_0^{2\pi} sin^2 \varphi+cos^2 \varphi d \varphi = \lambda \int_0^{2\pi} 1 d \varphi = \lambda \cdot 2 \pi = r \end{eqnarray*}$

Was mich stutzig macht, ist halt, dass die 0 aus dem Definitionsbereich entfernt wurde und mir nicht ganz klar ist, warum. Muss dies irgendwie in meinem Beweis zur Sprache kommen?

Danke schonmal

05.04.2011, 11:31

gonnabphd

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Hi,

1. Was wäre denn die erste Kohomologie-Gruppe $\begin{eqnarray*} H^1 \end{eqnarray*}$ , wenn man statt $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \setminus 0 \end{eqnarray*}$ den Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ betrachten würde? (Tipp: nichts interessantes)

Deine Vermutung, dass du den zugrundeliegenden Raum irgendwie hättest verwenden müssen, ist also korrekt. (folgt aus obigem)

2. Das u aus deinem Beweis der Surjektivität ist nicht rotationsfrei: $\begin{eqnarray*} du = d\left(-\lambda x_2\, dx_1 + \lambda x_1\, dx_2\right) = -\lambda\, dx_2 \wedge dx_1 + \lambda\, dx_1 \wedge dx_2 = 2\lambda \, dx_1 \wedge dx_2 \ne 0 \end{eqnarray*}$

Gruss Wink

Wink

05.04.2011, 16:58

Merlinius

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Danke, da hab ich wohl die Definition der Rotation falsch gelesen smile

smile

Ich hatte erst eine Vorlesung zu dem Thema, daher ist das alles neu für mich. Neuer Versuch:

$\begin{eqnarray*} u := (\frac{-\lambda x_2}{x_{1}^2+x_{2}^2},\frac{\lambda x_1}{x_{1}^2+x_{2}^2}) \end{eqnarray*}$

Diese Funktion ist rotationsfrei und führt zum selben Ergebnis wie oben. Hier kommt einem dann zu Gute, dass der Definitionsbereich nicht die 0 enthält.

Richtig?

Die Schreibweise mit dem $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ ist mir noch nicht bekannt und allgemein beschränken sich meine Kenntnisse der Kohomologie-Gruppen bisher auf diese Aufgabe.

05.04.2011, 18:01

gonnabphd

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Achso, an den Schreibweisen musst du dich dann nicht aufhängen.

Übersetzt in weniger differential-topologische Sprache wollte ich nur sagen, dass jede geschlossene Form auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ schon exakt ist. Das ist äquivalent zur Feststellung, dass eine Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} f \, dx + g \, dy = 0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ genau dann integrierbar ist, wenn sie geschlossen ist. D.h. wenn $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial x} \end{eqnarray*}$ gilt. Man spricht in diesem Fall auch von einer exakten Differentialgleichung.

Wenn das nun aber der Fall ist, dann ist jedes rotationsfreie Vektorfeld schon der Gradient einer Funktion, also

$\begin{eqnarray*} H^1(\mathbb R^2) = \textbf{ker} (\textbf{rot}) / \textbf{im}( \textbf{grad} )= \textbf{im}( \textbf{grad}) / \textbf{im}( \textbf{grad} )= 0 \end{eqnarray*}$

Edit: Ansonsten habe ich das zwar jetzt nicht korrektur-nachgerechnet, aber etwas in der Art müsste dabei rauskommen, ja.

06.04.2011, 00:37

Merlinius

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Vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe noch eine ähnliche Aufgabe aus diesem Themengebiet. Zumindest klingt es ähnlich zu dem, was Du zuletzt gesagt hast. Vielleicht fällt Dir ja auch etwas dazu ein. Wenn nicht, macht auch nichts, dann muss ich mich nochmal anderweitig umschauen:

Und zwar soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} H^3(U) = C^{\infty}(U, \mathbb R)/Im(div) = 0 \end{eqnarray*}$ für sternförmiges, offenes $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , und ich habe den Hinweis bekommen, dass man zur Konstruktion für ein Vektorfeld zu f die Funktion $\begin{eqnarray*} F(x) = \int_0^1 t^2 f(tx)dt \end{eqnarray*}$ benutzen und an geeigneter Stelle partiell integrieren soll.

Das heißt, ich soll ja zeigen, dass jede glatte Funktion $\begin{eqnarray*} f \in C^{\infty}(U, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ darstellbar ist als $\begin{eqnarray*} f = \frac{\partial g_1}{\partial x_1}+\frac{\partial g_2}{\partial x_2}+\frac{\partial g_3}{\partial x_3} \end{eqnarray*}$ für ein geeignetes $\begin{eqnarray*} g = (g_1, g_2, g_3) \in C^{\infty}(U, \mathbb R^3) \end{eqnarray*}$ , richtig?

Ich habe heute schon mehr als zwei Stunden an dieser Aufgabe herumprobiert, aber ich weiß einfach nicht, wie ich da vorgehen soll. Ich kann auch den Hinweis nicht einordnen, weil ja F eine Funktion mit reellem Bild ist, aber mein g ja ein Bild im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ haben muss.

Und mir wird auch nicht klar, wo ich partiell integrieren soll. Ich nehme mal an, das x im F(x) kommt aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und ich habe die Vermutung, dass ich die Technik, die von mir dort gefordert wird (sei es Integration oder Differentiation einer Funktion der Gestalt von F nach x), bisher noch in keiner anderen Vorlesung gelernt habe, der Dozent dies aber stillschweigend voraussetzt. Vielleicht irre ich mich aber, und es ist ganz einfach.

Hättest Du da vielleicht eine Idee für mich? Ich habe schon versucht, die Literatur zu durchsuchen und habe die Vermutung, dass diese Aufgabe mit dem "Lemma von Poincaré" zu tun hat, aber mit den Beweisen zu dem Lemma, die ich gefunden habe, kann ich überhaupt nichts anfangen, da sie doch ein größeres Wissen um dieses Thema voraussetzen.

Wie gesagt, wenn diese Aufgabe zu weit geht, ist auch in Ordnung. Es ist ja doch eine umfangreichere Anschlussfrage, aber Du hast den Eindruck erweckt, als seist Du mit dem Thema vertraut und da dachte ich, vielleicht hast Du eine Idee für mich.

Danke schonmal smile

smile

06.04.2011, 16:39

gonnabphd

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Hi,

Hab das mal gemäss Poincaré Lemma nachgerechnet und komme auf ein Ergebnis. Es fällt mir gerade jedoch ein wenig schwer, den Ansatz, welchen man verfolgt, von der Differentialgeometrie in "normale Vektorschreibweise" zu übersetzen.

Aber ich versuch dich mal ranzuführen:

Du hast richtig erkannt, dass das $\begin{eqnarray*} F(x) = \int_0^1 t^2 f(tx) \, dt \end{eqnarray*}$ eine reellwertige Funtkion ist und somit noch nicht das gewünschte Vektorfeld sein kann.

Schlussendlich wollen wir auf ein Vektorfeld

$\begin{eqnarray*} g(x) = F(x) (g_1(x) , g_2(x), g_3(x)) \end{eqnarray*}$

kommen. Wobei die $\begin{eqnarray*} g_i \end{eqnarray*}$ möglichst einfach sein sollten (z.B. linear in einer der Variablen x,y,z). (dabei ist in den Funktionen das x ein Vektor, und im letzen Komentar die x-Komponente vom Vektor x)

Nun könnte man ja mal die Divergenz von dem unbestimmten g berechnen, und schauen, ob man damit eine Idee für die $\begin{eqnarray*} g_i \end{eqnarray*}$ bekommt.

smile

smile

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06.04.2011, 17:14

Merlinius

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Danke, also das Problem ist, dass mir nicht wirklich klar ist, wie ich so eine Integralfunktion partiell ableiten kann. Also einfach mal ins Blaue geraten nehme ich mir mal beispielhaft die Funktion:

$\begin{eqnarray*} g(x) = g(x_1, x_2, x_3) = (F(x)x_1, F(x)x_2, F(x)x_3) \end{eqnarray*}$

Dann wäre ja:

$\begin{eqnarray*} div(g) = \frac{\partial F(x)x_1}{\partial x_1}+\frac{\partial F(x)x_2}{\partial x_2}+\frac{\partial F(x)x_3}{\partial x_3}<br /> = F(x)+\frac{\partial \int_0^1 t^2f(tx)dt}{\partial x_1}+F(x)+\frac{\partial \int_0^1 t^2f(tx)dt}{\partial x_2}+F(x)+\frac{\partial \int_0^1 t^2f(tx)dt}{\partial x_3} \end{eqnarray*}$

Nach Produktregel. Nun weiß ich nicht, ob ich einfach nur auf dem Schlauch stehe, aber ich glaube, dass ich bisher noch in keiner Vorlesung gelernt habe, wie ich so ein Integral partiell ableiten kann. Auf Wikipedia habe ich über sogenannte "Parameterintegrale" gelesen, das Konzept, was dort vorgestellt wird, ist mir aber gänzlich unbekannt, und ich bin auch nicht sicher, ob es wirklich das ist, worum es hier geht, denn dort wird auch nirgendwo partiell abgeleitet, sondern immer nur nach dem "ganzen x".

In der Aufgabe wurde ja auch der Hinweis gegeben, dass ich an geeigneter Stelle partiell integrieren soll. Soll ich vielleicht erst das Integral per partieller Integration aufzulösen versuchen, um es dann partiell ableiten zu können? Ich habe gestern auch dies versucht, bin aber zu keinem Ergebnis gekommen. Auch hier stehe ich vor dem Hindernis, dass ich noch nie in Berührung damit kam, eine Stammfunktion einer Funktion in drei Variablen zu bestimmen.

06.04.2011, 18:22

gonnabphd

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Für stetig differenzierbares f kann man die partielle Ableitung einfach ins Integral reinziehen. Das wird durch die entsprechenden Sätze über Parameterintegrale sichergestellt. Partiell abzuleiten heisst ja, dass die anderen Komponenten konstant gehalten werden, somit greifen die Sätze über Parameterintegrale.

Ausserdem solltest du nicht gleich schon zu Beginn wild drauf losraten, was die g_i's sein könnten. Sondern erst allgemein die Divergenz berechnen, um dann einen "informed guess" zu machen...

Evtl. hast du hier jedoch Glück mit deinem Ratespielchen. Big Laugh

Big Laugh

Also berechne nochmal die Divergenz, wenn du's richtig machst, ergibt sich das dann schlussendlich alles ziemlich schön.

06.04.2011, 19:17

Merlinius

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Es ging bei meinem "Ratespielchen" nur darum zu illustrieren, dass ich selbst bei einem so einfachen Beispiel nicht in der Lage bin, die Divergenz zu bestimmen. Ich betrachte nun also:

$\begin{eqnarray*} g(x) = (F(x)g_1(x), F(x)g_2(x), F(x)g_3(x)) \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} div(g) = \sum_{i=1}^3 \frac{\partial (F(x)g_i(x))}{\partial x_i}<br /> = \sum_{i=1}^3 g_i(x)\cdot\frac{\partial F(x)}{\partial x_i}+F(x)\cdot \frac{\partial g_i(x)}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$

Und nun nach Deinem Hinweis, dass man die partielle Ableitung ins Integral ziehen kann:

$\begin{eqnarray*} = \sum_{i=1}^3 g_i(x)\cdot \int_0^1 t^2\frac{\partial f(tx)}{\partial x_i}dt+F(x)\cdot \frac{\partial g_i(x)}{\partial x_i}<br /> = \sum_{i=1}^3 g_i(x)\cdot \int_0^1 t^2(\frac{\partial f}{\partial x_i})(tx)tdt+F(x)\cdot \frac{\partial g_i(x)}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$

nach Kettenregel (?)

$\begin{eqnarray*} = \sum_{i=1}^3 g_i(x)\cdot \int_0^1 t^3(\frac{\partial f}{\partial x_i})(tx)dt+F(x)\cdot \frac{\partial g_i(x)}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$

Ist es bis hierhin richtig? Wie kann ich denn jetzt weitermachen?

06.04.2011, 20:44

gonnabphd

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Zitat:

Ist es bis hierhin richtig? Wie kann ich denn jetzt weitermachen?

Bis hierhin ist schonmal alles perfekt. Ich weiss nicht, ob man wirklich so gut sieht, was nun zu tun ist - hatte mir das irgendwie schöner vorgestellt ^^.

Nun kann man erstmal ein bissl zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} &=& \sum_{i=1}^3 g_i(x)\cdot \int_0^1 t^3\frac{\partial f}{\partial x_i}(tx)dt+F(x)\cdot \frac{\partial g_i(x)}{\partial x_i} \\ &=& \int_0^1 t^2 f(tx) \, dt \left(\frac{\partial g_1(x)}{\partial x_1} + \frac{\partial g_2(x)}{\partial x_2} + \frac{\partial g_3(x)}{\partial x_3}\right) + \int_0^1 t^3 \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} (tx)g_1(x) + \frac{\partial f}{\partial x_2}(tx) g_2(x) + \frac{\partial f}{\partial x_3}(tx) g_3(x)\right) \, dt \end{eqnarray*}$

Wenn wir nun mal deiner ersten Intuition folgen:

$\begin{eqnarray*} \ldots &=& \int_0^1 t^2 f(tx) \, dt \left(1 +1+ 1\right) + \int_0^1 t^3 \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} (tx)x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(tx) x_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}(tx) x_3\right) \, dt \\ &=& \int_0^1 3t^2 f(tx) \, dt + \int_0^1 t^3 \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} (tx)x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(tx) x_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}(tx) x_3\right) \, dt \end{eqnarray*}$

Oha! Siehst du auch was ich sehe? Was ist denn

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\left( \frac{\partial f}{\partial x_1} (tx)x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(tx) x_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}(tx) x_3\right)}_{**} \end{eqnarray*}$

?

06.04.2011, 21:27

Merlinius

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Uiuiui, das hätte ich so schnell nicht gesehen.

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\left( \frac{\partial f}{\partial x_1} (tx)x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(tx) x_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}(tx) x_3\right)}_{**} \end{eqnarray*}$

unglücklich

unglücklich

Ich weiß es nicht, ich habe offenbar einen wirklich schlechten Zugang zur Differentialrechnung in mehreren Variablen.

In Ana 2 haben wir gesagt, das Differential einer Funktion f ist:

$\begin{eqnarray*} df(u) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(u)dx_i \end{eqnarray*}$

Das hat ja schonmal recht große Ähnlichkeit mit dem, was dort steht. Allerdings ist dort $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} dx_i \end{eqnarray*}$ . Macht das etwas oder ist das hier das selbe? Dann wäre:

$\begin{eqnarray*} \frac{df(tx)}{dx} = t\cdot (\frac{\partial f}{\partial x_1} (tx)x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(tx) x_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}(tx) x_3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} & \int_0^1 3t^2 f(tx) \, dt + \int_0^1 t^3 \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} (tx)x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(tx) x_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}(tx) x_3\right) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_0^1 3t^2 f(tx) \, dt + \int_0^1 t^3 \cdot \frac 1 t\cdot \frac{df(tx)}{dx} dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_0^1 3t^2 f(tx) \, dt + \int_0^1 t^2 \cdot \frac{df(tx)}{dx} dt \end{eqnarray*}$

?

07.04.2011, 00:11

gonnabphd

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Hi,

Du denkst in die falsche Richtung, denk an t und den Fakt, dass du noch partielle Integration anwenden willst.

Wink

Wink

Edit:

Zitat:

Dann wäre:
$\begin{eqnarray*} \frac{df(tx)}{dx} = t\cdot (\frac{\partial f}{\partial x_1} (tx)x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(tx) x_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}(tx) x_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} & \int_0^1 3t^2 f(tx) \, dt + \int_0^1 t^3 \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} (tx)x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(tx) x_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}(tx) x_3\right) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_0^1 3t^2 f(tx) \, dt + \int_0^1 t^3 \cdot \frac 1 t\cdot \frac{df(tx)}{dx} dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_0^1 3t^2 f(tx) \, dt + \int_0^1 t^2 \cdot \frac{df(tx)}{dx} dt \end{eqnarray*}$

Das ist übrigens ziemlich falsch. Nur schon der erste Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{df(tx)}{dx} \end{eqnarray*}$ hat keine Bedeutung. Lehrer

Lehrer

07.04.2011, 00:24

Merlinius

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Zitat:

Original von gonnabphd
Das ist übrigens ziemlich falsch. Nur schon der erste Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{df(tx)}{dx} \end{eqnarray*}$ hat keine Bedeutung. Lehrer

Lehrer

Ich wollte damit sagen, dass ich das Differential der Funktion f(tx) bzgl. der Variablen x berechne, also als verkettete Funktion. Wie schreibt man das denn? Oder kann man sowas gar nicht machen?

Also ist auch das mit dem Diferential ganz falsch? Kann man den obigen Ausdruck nicht als Differential auffassen?

07.04.2011, 00:31

Merlinius

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Okay, neuer Gedanke:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_1} (tx)x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(tx) x_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}(tx) x_3<br /> = \frac{\partial f}{\partial x_1} (tx)d(t\cdot x_1) + \frac{\partial f}{\partial x_2}(tx) d(t\cdot x_1) + \frac{\partial f}{\partial x_3}(tx) d(t\cdot x_1) \end{eqnarray*}$

Hier möchte ich jetzt, dass d(tx) quasi die Funktion tx nach t differenziert. Wie schreibt man das denn?

Und dann soll das obige sein:

$\begin{eqnarray*} = df(tx) \end{eqnarray*}$

und halt ebenfalls nach t differenziert werden.

Also, im totalen Differential (s.o.) steht ja das $\begin{eqnarray*} dx_1 \end{eqnarray*}$ für eine infinitesimale Änderung des $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich jetzt das Differential der Funktion f(tx) "nach t" berechne, müsste da ja die infinitesimale Änderung von $\begin{eqnarray*} tx_1 \end{eqnarray*}$ stehen, wenn ich t infinitesimal ändere, und dies wäre dann $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ? So war jetzt mein Gedanke oben, aber ich bin mir bzgl. der Formalien sehr unsicher und weiß auch nicht, ob die Idee so handfest ist.

07.04.2011, 00:58

gonnabphd

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Zitat:

Ich wollte damit sagen, dass ich das Differential der Funktion f(tx) bzgl. der Variablen x berechne, also als verkettete Funktion.

x ist hier ein Vektor. Ich weiss nicht, wie man nach einem Vektor genau ableiten will. (ausser du meintest die Richtungsableitung in Richtung x an der Stelle x, welche für gewöhnlich als $\begin{eqnarray*} D_v f(x),\, \frac{\partial f(x)}{\partial v} \end{eqnarray*}$ geschrieben wird)

Dann frag' ich mal ganz direkt: Was ist $\begin{eqnarray*} \frac{df(tx)}{dt} \end{eqnarray*}$ ?

07.04.2011, 01:06

Merlinius

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Zitat:

Original von gonnabphd
Dann frag' ich mal ganz direkt: Was ist $\begin{eqnarray*} \frac{df(tx)}{dt} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} = \frac{\partial f}{\partial x_1} (tx)\frac{d(tx_1)}{dt} + \frac{\partial f}{\partial x_2}(tx) \frac{d(tx_2)}{dt} + \frac{\partial f}{\partial x_3}(tx) \frac{d(tx_3)}{dt}<br /> =\frac{\partial f}{\partial x_1} (tx)x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(tx) x_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}(tx) x_3 \end{eqnarray*}$

?

Wie ich im letzten Post schon versucht habe zu sagen. Ich bin mir aber bzgl. der Schreibweisen nicht sicher.

Okay, darüber kann ich dann wohl partiell integrieren. Ich muss morgen mal schauen, wie es weitergeht. Danke auf jeden Fall schonmal.

07.04.2011, 09:38

Merlinius

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Juhuu

smile

Hat lange genug gedauert, aber ich denke, ich habe es nun:

$\begin{eqnarray*} & \int_0^1 3t^2 f(tx) \, dt + \int_0^1 t^3 \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} (tx)x_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}(tx) x_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}(tx) x_3\right) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =& \int_0^1 3t^2 f(tx) \, dt + \int_0^1 t^3 \left( \frac{\partial f}{\partial x_1} (tx)\frac{dtx_1}{dt} + \frac{\partial f}{\partial x_2}(tx) \frac{dtx_2}{dt} + \frac{\partial f}{\partial x_3}(tx)\frac{dtx_3}{dt}\right) \, dt \end{eqnarray*}$

(oder schreibt man statt $\begin{eqnarray*} \frac{dtx_1}{dt} \end{eqnarray*}$ besser $\begin{eqnarray*} \frac{\partial tx_1}{\partial t} \end{eqnarray*}$ (als Mathematiker, also kein Physiker oder so)

$\begin{eqnarray*} =& \int_0^1 3t^2 f(tx) \, dt + \int_0^1 t^3 \frac{df(tx)}{dt} \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =& \int_0^1 3t^2 f(tx) \, dt + [t^3f(tx)]_{t=0}^1-\int_0^1 3t^2f(tx) \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = f(x) \end{eqnarray*}$

Auf jeden Fall einen sehr großen Dank für Deine unerschöpfliche Geduld

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