Grenzwert mit Riemannsummen bestimmen

04.04.2011, 19:30

jenny853

Grenzwert mit Riemannsummen bestimmen

Hallo zusammen Wink

Die Aufgabenstellung ist:
Bestimmen Sie den Grenzwert: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n²+k²} \end{eqnarray*}$

Mit Hilfe eines anderen Forenbeitrags habe ich zwar was herausbekommen, blicke aber nicht mehr durch unglücklich

Könntet ihr euch das bitte mal anschauen und mir sagen was ich falsch mache?
(Bitte nicht erschrecken^^):
Meine Folge lässt sich ja wie folgt darstellen
$\begin{eqnarray*} n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n²+k²} = \frac{1}{n²+1²} + \frac{1}{(n+1)²+2²} + \frac{1}{(n+2)²+3²}+...+\frac{1}{n²+(n-1)²} \end{eqnarray*}$

Betrachte ich jetzt beispielsweise den dritten Summanden
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n+2)²+3}²=\frac{1}{n²} * \frac{1}{(1+(2/n))²+(3/n)²} \end{eqnarray*}$
Somit kann ich das als $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ bezeichnen, was wiederum die Obersumme darstellt.

also ist $\begin{eqnarray*} f(x_k)= \frac{1}{(x_k+1)²}+(x_k)²=> (x_k)= \frac{k}{n} \end{eqnarray*}$

somit hab ich das Intervall $\begin{eqnarray*} max\left(\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right]\right)\quad,\quad k=0,1,2,\dots, n-1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$

also hab ich
$\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} * \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt die Ränder des Intervalls herausfinden möchte betrachte ich doch ein Min. und Max. oder??
$\begin{eqnarray*} [ (\frac{1}{n}+1), (\frac{1+(n-1)}{n}+1)] \end{eqnarray*}$

und jetzt?? verwirrt

also das thema find ich wirklich sehr tricky deswegen wäre ich euch sehr dankbar für eure hilfe!! Gott

04.04.2011, 19:43

HAL 9000

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Da du den Thread

Grenzwert bestimmen

ja schon gefunden hattest, war die Eröffnung dieses Threads hier eigentlich ziemlich überflüssig.

04.04.2011, 19:45

jenny853

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ja nur durchblick ich das nicht 100prozentig unglücklich

und wollt fragen wie man eben die grenzen des integrals bestimmen muss und ob der kas überhaupt stimmt smile

05.04.2011, 07:21

René Gruber

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Zitat:

Original von jenny853
Meine Folge lässt sich ja wie folgt darstellen
$\begin{eqnarray*} n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n²+k²} = \frac{1}{n²+1²} + \frac{1}{(n+1)²+2²} + \frac{1}{(n+2)²+3²}+...+\frac{1}{n²+(n-1)²} \end{eqnarray*}$

Nein - wie kommst du darauf? Der erste Teil $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ im Nenner bleibt für alle Summanden gleich, nur der zweite $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ ändert sich, zudem hast du den Faktor n vor der Summe ganz unterschlagen! Es ist also in "Pünktchenschreibweise"

$\begin{eqnarray*} n \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2+k^2} = n\left( \frac{1}{n^2+1^2} + \frac{1}{n^2+2^2} + \frac{1}{n^2+3^2}+ \ldots +\frac{1}{n^2+(n-1)^2}+\frac{1}{n^2+n^2} \right) \end{eqnarray*}$ .

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