Familien linear abhängig oder linear unabhängig

04.04.2011, 21:34

someone[ger]

Familien linear abhängig oder linear unabhängig

Hallo zusammen,

ich habe irgendwie Probleme die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektorfamilien zu überprüfen und würde mich über Hilfe freuen.

Aufgabe:

Wir betrachen V = C (komplex.) als Vektorraum über IR und folg. Vektoren:

$\begin{eqnarray*} v_1 = 1<br /> v_2 = i<br /> v_3 = e<br /> v_4 = \pi <br /> v_5 = 1 + i \end{eqnarray*}$

Welche Familien sind linear abhängig?

a) $\begin{eqnarray*} (v_1, v_2, v_1) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} (v_1, v_2, v_2) \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} (v_1, v_2, v_3) \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} (v_1, v_2, v_4) \end{eqnarray*}$
e) $\begin{eqnarray*} (v_1, v_2, v_5) \end{eqnarray*}$

Meine Ansätze:

Wenn jeder Vektor der Familie nur auf eine Weise aus den übrigen Vektoren der Familie konstruiert werden kann, sind die Vektoren linear unabhängig per Definition. Also Umkehrschluss: Kann nicht jeder Vektor auf genau eine Art darsgestellt werden, sprich: gibt es wenigstens einen Vektor für den es mehrere Möglicheiten gibt ihn darzustellen, dann ist die Familie linear abhängig.

Bei a) können wir $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ darstellen als

$\begin{eqnarray*} 0*v_1 + 0*v_2 + 1*v_1 \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} 1*v_1 + 0*v_2 + 0*v_1 \end{eqnarray*}$

Also ist die Familie linear abhängig.

Bei b) und e) komme ich auf dasselbe Ergebnis.

Bei c) und d) würde ich sagen linear unabhängig, da sich jeder Vektor nur auf genau eine Art darstellen lässt.

Wäre für eine kurze Überprüfung meiner Ergebnisse dankbar. smile

PS: Die nächste Aufgabe lautet genau gleich nur das in der Fragestellung steht "Welche Familien sind linear unabhängig?". Ist das dann nciht einfach genau umgedreht? Oder gibt es da noch irgendeinen Hacken?

04.04.2011, 21:45

Helferlein

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So wie es aussieht, hast Du den Begriff der linearen Unabhängigkeit noch nicht richtig verstanden. Keiner der Vektoren darf durch die anderen darstellbar sein.

04.04.2011, 21:54

someone[ger]

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Zitat:

Original von Helferlein
So wie es aussieht, hast Du den Begriff der linearen Unabhängigkeit noch nicht richtig verstanden. Keiner der Vektoren darf durch die anderen darstellbar sein.

Okay, dann nochmal von vorne:

a) linear abhängig, da v_1 zwei mal vorkommt, somit kann ich v_1 auch durch die anderen Vektoren darstellen, also nicht linear unabhängig, also linear abhängig

b) linear abhängig, da v_2 zwei mal vorkommt, damit analog zu a)

c) linear unabhängig, da ich weder 1 noch i oder e durch die anderen beiden darstellen kann.

d) linear unabhängig, gleiche Begründung wie bei c)

e) linear abhängig, da ich 1+i darstellen kann als den 1 plus den i Vektor.

Für a) und b) ist die Frage aber irgendwie sinnlos wenn die Vektoren zwei mal vorkommen, oder?

04.04.2011, 21:56

Helferlein

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c) und d) sind falsch.

04.04.2011, 22:00

someone[ger]

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Aaaah... ja, klar.

Danke für deine Geduld.

Wir bewegen uns in IR, also könnte ich zum Beispiel bei c)

$\begin{eqnarray*} v_1 = 1 \end{eqnarray*}$ darstellen als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{i}* v_2 = \frac{1}{i}* i = 1 = v_1 \end{eqnarray*}$

Und bei d)

$\begin{eqnarray*} v_4 = \pi \end{eqnarray*}$ darstellen als $\begin{eqnarray*} \pi* v_1 =\pi* 1 = \pi = v_4 \end{eqnarray*}$

Damit wären also alle linear abhängig.

Würden wir uns in Q bewegen wären nur a, b und e linear abhängig.

Stimmt das jetzt so? smile

04.04.2011, 22:07

Helferlein

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d) ist so korrekt, aber c) nicht.
$\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ wird als R-Vektorraum aufgefasst, die Skalare sind also aus welchem Raum?

04.04.2011, 22:17

someone[ger]

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Die Skalare bei einem R-Vektorraum stammen aus R.

Und i ist der Imaginärteil einer komplexen Zahl und hat in R nichts zu schaffen, also kann ich nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ als Skalar benutzen. Gott

Damit a, b, c, e linear abhängig in einem R-Vektorraum und a,b und e linear abhängig in einem Q-Vektorraum (da fällt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ als Skalar weg.

Jetzt alles korrekt? Man, man, die Semesterferien waren zu lang... Augenzwinkern

04.04.2011, 22:19

Helferlein

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d) ist immer noch falsch geschockt

Bzgl. Q-VR hast Du recht.

04.04.2011, 22:22

someone[ger]

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Zitat:

Original von Helferlein
d) ist so korrekt, aber c) nicht.
$\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ wird als R-Vektorraum aufgefasst, die Skalare sind also aus welchem Raum?

Zitat:

Original von Helferlein
d) ist immer noch falsch geschockt

Bzgl. Q-VR hast Du recht.

Hmm, jetzt bin ich verwirrt.

Also c) und d) verkehrt? Oder nur c) ?

Edit: ALso ich glaube ich hatte Recht dass c linear abhängig ist, aber die Begründung war falsch. Ich hatte mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ argumentiert, was aber nicht geht, da die Skalare aus R stammen müssen. Ich kann aber das Skalar $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ nehmen und mit $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ multiplizieren, damit erhalte ich dann $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ .

Also tatsäclich alle linear abhängig im R-VR nur dass die Begründung eben Käse war.

04.04.2011, 22:28

Helferlein

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Jetzt stimmt es Freude

04.04.2011, 22:30

someone[ger]

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Vielen Dank für die Mühe smile

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