Dimension Bild, Menge

Neue Frage »

Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension Bild, Menge
Moin Leute,

geht um diese Aufgabe hier: Seien V, W K-Vektorräume , f: V -> W eine lineare Abbildung. Sei ein Unterraum. Beweisen Sie (ohne Benutzung der Dimensionsformel), dass .

Wenn es sich bei der Abbildung um einen Isomorphismus handelt, so muss ja zwangsläufig gelten. Wie zeige ich aber nun ? Wenn die Abbildung injektiv ist, so ist dim(f(v)) < dim(V) möglich. Wenn die Abbildung surjektiv ist, so ist dies ebenfalls möglich... Ich weiß wirklich nicht weiter. Würde mich über einen Tipp freuen.

Schönen Gruß Pustefix91
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm Dir eine Basis von U her, und überlege dir was passieren kann, wenn man diese bezüglich f abbildet.
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja nicht jeder Basisvektor muss zwangsläufig einen Wert f(v) annehmen.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Na ja nicht jeder Basisvektor muss zwangsläufig einen Wert f(v) annehmen.


f ist eine Abbildung, daher ordnet sie jedem Element der Urbildmenge einen Vektor aus W zu. Das nennt man Linkstotal (erinnere dich, Abbildungen sind Linkstotale, rechtseindeutige Relationen).
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh stimmt.. Na gut aber wenn die Funktion surjektiv ist, so können zwei Basisvektoren von U auf nur einen Vektor abgebildet werden.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Na gut aber wenn die Funktion surjektiv ist, so können zwei Basisvektoren von U auf nur einen Vektor abgebildet werden.


Wieso?

Es gibt ansich nur zwei Fälle zu betrachten :

f injektiv

f nicht injektiv

Wenn f injektiv ist, wie verhält sich das Bild linear unabhängiger Mengen?
 
 
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Na wenn es injektiv ist, so ist dim(f(U)) = dim (U). Wenn es nicht injektiv ist, so kann dim(f(U)) < dim(U) sein.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist zwar richtig, aber das meinte ich nicht. Ist M eine linear unabhängige Menge und f eine injektive, lineare Abbildung, so ist die Menge ebenfalls linear unabhängig. Ist dann f nicht injektiv, so kann f(M) linear abhängig werden.

Ist nun B eine Basis von U , dann ist



ein Erzeugendensystem des Bildes von U unter f. Mach Dir das klar. Mit dem obigen Argument folgt dann nämlich die Aussage.
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Ja, das ist zwar richtig, aber das meinte ich nicht. Ist M eine linear unabhängige Menge und f eine injektive, lineare Abbildung, so ist die Menge ebenfalls linear unabhängig.

Wieso das? Weshalb muss dann auch f(M) zwangsläufig linear unabhängig sein? Das sehe ich irgendwie nicht...

Zitat:

Ist nun B eine Basis von U , dann ist



ein Erzeugendensystem des Bildes von U unter f.


Das ist mir bewusst. Aber weshalb bei injektivität f(M) ebenfalls linear unbhängig sein muss verstehe ich nicht...

Schönen Gruß Pustefix91
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wieso das? Weshalb muss dann auch f(M) zwangsläufig linear unabhängig sein? Das sehe ich irgendwie nicht...


Ich dachte das wäre bekannt, denn das ist eine der Aussagen die man zeigt, wenn man lineare Unabhängigkeit und lineare Abbildungen einführt.

Der Beweis ist auch trivial, sei f linear und injektiv und M linear unabhängig. Annahme : f(M) ist linear abhängig, dann gäbe also eine Linearkombination



wobei mindestens ein Lambda ungleich 0 ist. Dann ist wegen der linearität




Jetzt wissen wir das f injektiv ist, also wird nur die 0 auf 0 abgebildet. Daher folgt



Da die m_i nach Voraussetzung linear unabhängig sind, müssen also alle Lambdas gleich 0 sein. Widerspruch, also war schon die Annahme die Menge f(M) wäre linear Abhängig falsch. Damit ist f(M) linear unabhängig.
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok. Ja, das macht Sinn. smile Gut wie notiert man dies am besten?

Fall 1: Sei f injektiv f(U) ist linear unabhängig f(U) ist eine Basis dim(f(U)) = dim(U).

Fall 2: Sei f nicht injektiv f(U) kann linear abhängig sein dim(f(U)) < dim(U)

Schönen Gruß Pustefix91
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn ichs mir recht überlege braucht man noch nichtmal diese Fallunterscheidung. Ist B eine Basis von U, dann ist



Sprich das erzeugenden System hat die gleiche Anzahl von Vektoren wie die Basis. Dann kann die Dimension des Bildes aber nur höchstens so groß sein wie die Dimension von U =>
Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Naja, wenn ichs mir recht überlege braucht man noch nichtmal diese Fallunterscheidung. Ist B eine Basis von U, dann ist


Wieso denn das? Wenn keine Injektivität gegeben ist, muss diese Gleichheit doch gar nicht zwangsläufig bestehen verwirrt
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wieso denn das? Wenn keine Injektivität gegeben ist, muss diese Gleichheit doch gar nicht zwangsläufig bestehen verwirrt


Ah, gut aufgepasst. Du hast recht, damit ändert sich am eigentlichen Argument aber nix. Richtig wäre also

Pustefix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Zitat:
Wieso denn das? Wenn keine Injektivität gegeben ist, muss diese Gleichheit doch gar nicht zwangsläufig bestehen verwirrt


Ah, gut aufgepasst. Du hast recht, damit ändert sich am eigentlichen Argument aber nix. Richtig wäre also



War das Absicht Big Laugh ? Jedenfalls danke. Mir ist das ganze nun um einiges klarer. smile

Schönen Gruß Pustefix91
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
War das Absicht Big Laugh ?


Ich könnte ja sagen, aber nein, war nicht absicht Augenzwinkern .
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »