Liegt die Gerade in der Ebene?

05.04.2011, 18:03

studYY

Liegt die Gerade in der Ebene?

Guten Abend smile

Aufgabe:
Untersuche durch Berechnung des Schnittwinkels, ob die Gerade g zur Ebene E parallel ist und gegebenenfalls, ob g in E liegt.

1.
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end {pmatrix} + p * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E:x_{1}-2x_{2}+x_{3}=1 \end{eqnarray*}$

Das Skalarprodukt von Richtungs- und Normalenvektor ergibt:
1 - 4 + 3 = 0

Das heißt sie stehen in einem Winkel von 90° zueinander?

Aber wie kann ich prüfen, ob die Gerade in der Ebene liegt?
Durch gleichsetzen vielleicht? Aber wie geht es dann weiter?

Vielen Dank für jede Hilfe smile

05.04.2011, 18:16

Bjoern1982

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Zitat:

Das heißt sie stehen in einem Winkel von 90° zueinander?

Die Vektoren ja, nicht aber Gerade und Ebene Augenzwinkern

Wenn man nur noch entscheiden muss ob g und E parallel zu einander sind oder g in E liegt, bedeutet das ja gleichzeitig, dass g und E entweder keine oder unendlich viele Punkte gemeinsam haben.
Daher könnte man z.B. also was tun ?

05.04.2011, 18:28

studYY

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Das heißt ich muss 90° abziehen, damit der Winkel zischen Ebene und Gerade beschrieben wird?

Man könnte den Stützvektor bzw. den Punkt in die Koordinatengleichung einsetzen und schauen ob es eine Lösung gibt?

1 - 2 + 2 = 1

Das ist eine wahre Aussage, also kann die Gerade nicht parallel zur Ebene sein, sondern muss in der Ebene liegen?

05.04.2011, 18:34

Bjoern1982

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Zitat:

Das heißt ich muss 90° abziehen, damit der Winkel zischen Ebene und Gerade beschrieben wird?

Sozusagen, oder du stellst es dir einfach geometrisch vor.
Denn wenn der Richtungsvektor von g und ein (senkrecht zu E stehender) Normalenvektor zueinander senkrecht stehen, dann bedeutet das halt automatisch, dass nur noch 2 Lagebeziehungen in Frage kommen.

Zitat:

Das ist eine wahre Aussage, also kann die Gerade nicht parallel zur Ebene sein, sondern muss in der Ebene liegen?

Richtig, denn wenn schon ein Punkt von g auch in E liegt, dann werden es hier auch alle anderen tun. Freude

05.04.2011, 19:19

studYY

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Großes Dankeschön an dich Björn smile

Meine letzte Frage:
Wie würde ich denn eigentlich einen Schnittpunkt ausrechnen?

Zum Beispiel bei:
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -9 \end {pmatrix} + p * \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E:x_{1}+5x_{2}+7x_{3}=1 \end{eqnarray*}$

Skalarprodukt: 6
|N| = Wurzel(75)
|RV| = Wurzel(21)
Schnittwinkel: 10,16°

Das habe ich bereits ausgerechnet, aber hier kann ich nicht einfach den Stützvektor in die Koordinatengleichung einsetzen..

Was kann ich machen?

05.04.2011, 19:24

Bjoern1982

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Das Skalarprodukt müsste 7 lauten.
Wenn du den Schnittpunkt errechnen willst, dann setze die Gerade als Punkteschar direkt in die Ebene ein.
Ein allgemeiner Punkt der Geraden g lautet G(2+p|4+4p|-9-2p).
Setzt du G nun in E ein, kannst du nach p auflösen und erhälst somit am Ende den gesuchten Schnittpunkt durch einsetzen in g.

05.04.2011, 19:40

studYY

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Oh tut mir Leid vertippt, es ist 7.

In E eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} E:2+p+4+4p-9-2p=1 \end{eqnarray*}$

-3 - 3p = 1 |+3
-3p = 4 |: (-3)
p = - 4/3

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -9 \end {pmatrix}- \frac{4}{3} * \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -9 \end {pmatrix} + \begin{pmatrix} -\frac{4}{3} \\ -5\frac{1}{3} \\2\frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das sieht zu krumm aus. unglücklich

Oder soll ich das noch weiterrechnen?

05.04.2011, 19:43

Bjoern1982

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Zitat:

In E eingesetzt: $\begin{eqnarray*} E:2+p+4+4p-9-2p=1 \end{eqnarray*}$

Du hast die 5 und 7 als Faktoren vor x2 und x3 nicht beachtet Augenzwinkern

05.04.2011, 19:51

studYY

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$\begin{eqnarray*} E:2+2p+20+20p-63-14p=1 \end{eqnarray*}$

-41 + 8p = 1 |+ 41
8p = 42 |: 8
p = 5.25

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -9 \end {pmatrix} + 5.25 * \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ -9 \end {pmatrix} + \begin{pmatrix} 5.25 \\ 21 \\ -10.5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7.25 \\ 25 \\ -19.5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So?

05.04.2011, 19:56

Bjoern1982

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Ja, so sollte es passen smile

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