Extremwertaufgabe

05.04.2011, 18:13	karierte Baumkrone	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Meine Frage: Hans befindet sich in seinem Ruderboot im Punkt A (liegt bei 12 km auf der y-Achse), als sich plötzlich der kleine Hunger bei ihm meldet Seinen Lieblingsschokoriegel gibt es in einem Laden im Punkt D (liegt bei 14 km auf der x-Achse). Durchschnittlich kann Hans in einer Stunde 7 km rudern und 9 km laufen. Welchen Punkt C am Strand (also auf der x-Achse) muss er ansteuern, dass er in möglichst kurzer Zeit zu seinem Schokoriegel kommt? Wie lange braucht er mindestens? Meine Ideen: Nun wollte ich eine Gleichung finden, welche die Zeit in Abhänigigkeit des Punktes C darstellt: $\begin{eqnarray} t_{ges} = t_{r} + t_{l} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t_{r} \end{eqnarray}$ = Zeit, die Hänschen zum rudern braucht $\begin{eqnarray} t_{l} \end{eqnarray}$ = Zeit, die Hänschen am Strand entlang latscht die Zeit berechnet sich aus: $\begin{eqnarray} t = \frac{s}{v} \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} t_{r} \end{eqnarray}$ ist der Weg s, da es sich ja hier um ein rechtwinkliges Dreieck zwischen Punkt A, dem Koordinatenursprung und dem Punkt C handelt: $\begin{eqnarray} s_{r} = \sqrt{\left(12^{2} + x^{2} \right) } \end{eqnarray}$ X ist hierbei der Punkt C. Das dann in die Formel für die Zeit eingesetzt, wobei die Rudergeschwindigkeit, wie in der Aufgabe erwähnt, $\begin{eqnarray} 7\frac{km}{h} \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} t_{r} = \frac{\sqrt{\left(12^{2} + x^{2} \right) } }{7} \end{eqnarray}$ Die $\begin{eqnarray} t_{l} \end{eqnarray}$ ist nun recht einfach zu berechnen. Von den insgesamt 14km am Strand zieht man den Punkt C ab und teilt durch die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} 9\frac{km}{h} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} t_{l} = \frac{\left(14 - x \right)}{9} \end{eqnarray}$ Die beiden Formeln setzt man nun in $\begin{eqnarray} t_{ges} \end{eqnarray}$ ein, wobei sie von Punkt C, also x abhängig sind: $\begin{eqnarray} t_{ges}\left(x\right) = \frac{\sqrt{\left(12^{2} + x^{2} \right) } }{7} + \frac{\left(14 - x \right)}{9} \end{eqnarray}$ Da man nun die minimale $\begin{eqnarray} t_{ges} \end{eqnarray}$ haben will, setzt man die erste Ableitung 0: $\begin{eqnarray} t_{ges} '\left(x_{e} \right) = \frac{x}{7\sqrt{\left(x^{2} + 144\right) } } - \frac{1}{9} = 0 \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} x_{e}= 14,82 km \end{eqnarray}$ . Aber das kann nicht sein, denn sonst würde Hans über den Punkt D hinaus fahren und dann zurücklaufen. Das Intervall für x ist also $\begin{eqnarray} \left[0,14\right] \end{eqnarray}$ . Dann wäre $\begin{eqnarray} x_{e} \end{eqnarray}$ , aber 14km, d.h. Hans würde gar nicht laufen, sondern sofort dahin rudern. Irgendwie komm ich einfach nicht auf den Fehler in meiner Rechnung; hoffentlich habt ihr eher einen Durchblick als ich.
05.04.2011, 20:10	Milchkeks	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: trotz (scheinbar) logischer Idee falsche Lösung Korrigiert mich bitte wenn ich falsch liege. Da ich mir auch nicht sicher bin. :/ Aber für mich ist deine Lösung praktisch korrekt, du hast bloß einen kleinen Fehler der das fehlerhafte Ergebnis erklärt. Deine Laufzeit ist falsch, sie ist negativ, wenn Hans über D hinaus steuert. Deswegen liegt auch das Minimum über 14, da dann die rechte Seite des Terms kleiner wird. Das ist aber unrealistisch, du musst also den Betrag nehmen. Schließlich muss er bei 15 km auf der x-Achse immernoch 1km zurück laufen. $\begin{eqnarray} t_{l} = \frac{\|{(14 - x)}\|}{9} \end{eqnarray}$ Damit kommst du auf ein Minimum bei 14. Den gleichen Effekt erreicht du indem du das Intervall auf [0;14] beschränkst. Dann ist der kleinste Zeitwert erreicht, wenn Hans sofort zu D rudert. Was auch der kürzeste Weg ist. So in etwa hast du es auch in deiner Lösung.
05.04.2011, 21:20	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgabe: trotz (scheinbar) logischer Idee falsche Lösung @karierte Baumkrone Schau Dir nochmal Deine erste Ableitung an, und zwar den ersten Bruch. Da sollte doch im Zähler die "innere" Ableitung stehen, und die ist 2x. Edit: Kommando zurück - Deine Ableitung ist richtig. Ich habe die 2 im Nenner übersehen. Sorry!

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