Ungleichungskette

04.12.2006, 16:57	Yogi Löw	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungskette Kann mir jemand mal n Tip geben wie ich folgende Ungleichungskette beweisen kann : $\begin{eqnarray} 0 < e - \sum_{k=0}^n~\frac{1}{k!} < \frac{1}{nn!} \end{eqnarray}$ für alle n\in \mathbb N ^ Ich habe bis jetzt die linke Seite bewiesen und gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~ \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ für n->unendl. gegen e konvergiert. Muss jetzt also noch zeigen, dass der mittlere Teil der Ungleichung schneller gegn Null geht als $\begin{eqnarray} \frac{1}{nn!} \end{eqnarray*}$ ...aber wie stell ich das an ???
04.12.2006, 17:07	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme an, du kennst die Reihendarstellung $\begin{eqnarray} e =\sum_{k=0}^{\infty}~\frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ Dann ist die Behauptung äquivalent zu folgender Abschätzung des Reihenrests: $\begin{eqnarray} 0 < \sum_{k=n+1}^{\infty}~\frac{1}{k!} < \frac{1}{n\cdot n!} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb{N}^ \end{eqnarray}$ Und das gelingt sehr leicht unter Nutzung der Abschätzung $\begin{eqnarray} \frac{1}{k!} \leq \frac{1}{(n+1)^{k-n}\cdot n!} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k\geq n \end{eqnarray*}$ (begründen!) und dann Majorisierung durch geometrische Reihe.
04.12.2006, 17:37	Yogi Löw	Auf diesen Beitrag antworten »
was ist denn mit Majorisierung durch geometrische Reihe gemeint? Habe inzwischen folgendes gemacht, komme aber damit nicht weiter : $\begin{eqnarray} n! \sum_{k=n+1}^\infty ~\frac{1}{k!} < \sum_{j=1}^m~(n+1)^{-j} \end{eqnarray}$ Ist das eine Sackgasse oder kannst du mir damit weiterhelfen ?
04.12.2006, 17:55	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
An der Stelle des $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ 's müsste aber ein $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ stehen! Genauer gilt unter Zuhilfenahme von Arthurs Ungleichung: $\begin{eqnarray} \sum_{k=n+1}^{\infty}~\frac{1}{k!}<\sum_{k=n+1}^{\infty}~\frac{1}{(n+1)^{k-n}\cdot n!}=\frac{1}{n!}\cdot \sum_{j=1}^{\infty}~\frac{1}{(n+1)^j} \end{eqnarray}$ . Und die letzte geometrische Reihe solltest du berechnen können. Gruß MSS

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