Poisson Prozesse, Stationarität

06.04.2011, 14:14

dragoneye

Poisson Prozesse, Stationarität

Meine Frage:
Hallo. Ich habe Aufgaben die mir einige Schwierigkeiten bereiten.
1) Ich soll zeigen, dass der Prozess X(t) = e^{-tW(e^(-2t))} stationär 2. Ordnung ist. W ist dabei ein Wiener Prozess. Ich muss also zunächst die Eigenschaft Cov(X(t),X(s)) = Cov(X(t+h),X(s+h)) für h > 0 prüfen. Hierbei scheitere ich schon. Ich kriege es einfach nicht hin, die rechte Seite der Gleichung mit irgendeiner Eigenschaft des Wiener Prozesses zu vereinfachen wie beispielsweise der Stationarität oder der Unabhängigkeit der Zuwächse. Hat jemand eine Idee?

2) Ich habe einen homogenen Poisson-Prozess N(t) und soll zeigen, dass N(2t) ebenfalls ein homogener Poisson-Prozess ist. Gehe ich richtig in der Annahme, dass das eine Trivialität ist?

Meine Ideen:
...

06.04.2011, 15:27

René Gruber

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Zitat:

Original von dragoneye
Gehe ich richtig in der Annahme, dass das eine Trivialität ist?

Wenn du schon so fragst, dann ist es anscheinend für dich nicht trivial. Arbeite also besser die Eigenschaften, die einen Poisson-Prozess auszeichnen, Punkt für Punkt ab, dann bist du auf der sicheren Seite. Augenzwinkern

EDIT (zur 1.Aufgabe): Zur Stationarität gehört auch, dass der Mittelwert $\begin{eqnarray*} E(X(t)) \end{eqnarray*}$ konstant, also unabhängig von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ist. Ich ziehe ernstlich in Zweifel, dass diese Eigenschaft bei $\begin{eqnarray*} X(t) = \exp\left( -tW\left( e^{-2t} \right) \right) \end{eqnarray*}$ erfüllt ist:

Es ist $\begin{eqnarray*} W(x) \sim \mathcal{N}(0,x) \end{eqnarray*}$ , d.h. ist $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ eine standardnormalverteilte Zufallsgröße, dann sind $\begin{eqnarray*} W(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{x}\cdot Z \end{eqnarray*}$ identisch verteilt, es folgt

$\begin{eqnarray*} E(X(t)) = E\left( \exp\left( -tW\left( e^{-2t} \right) \right) \right) = E\left( \exp\left( -te^{-t}Z \right) \right) = \exp\left( \frac{t^2}{2}e^{-2t} \right) \end{eqnarray*}$ ,

was mitnichten von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ unabhängig ist. Es ist also besser, du überprüfst nochmal deine Aufgabenstellung.

06.04.2011, 16:53

dragoneye

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Danke für die Antwort, das klingt plausibel. Da ich die Aufgabenstellung leider nicht schriftlich habe, kann auch sein, dass ich entweder das Gegenteil zeigen muss oder der Prozess etwas anders ausschaut. Vielleicht gilt die Stationarität 2. Ordnung für einen ähnlichen Prozess? Ich weiß leider die Aufgabenstellung nicht mehr genau...

Zur Aufgabe mit den homogenen Poisson-Prozessen: Ich muss zeigen dass N(2t) ein homogener Poisson-Prozess ist. Das heißt:

1) N(t) ~ Poi(xt) mit x als Intensität
2) N(t) hat unabhängige und stationäre Zuwächse

Zu 1) Wenn ich u:=2t setze, dann hätte ich N(u) ~ Poi(ut)
u deckt wieder die komplette Zeitachse ab, wir haben ja einen zeitstetigen Prozess. Kann ich so argumentieren?

Zu 2) IP(N(2t+h) - N(2s+h) = X, N(2u+h) - N(2t+h) = Y) = (N hat unabh. Zuwächse)
IP(N(2t+h) - N(2s+h) = X) * IP(N(2u+h) - N(2t+h) = Y) = (N stat. Zuwächse)
IP(N(2t) - N(2s) = X) * IP(N(2u) - N(2t) = Y) =
IP(N(2t) - N(2s) = X, N(2u) - N(2t) = Y)

kann ich so vorgehen? Falls ja, hätte ich damit doch alles gezeigt oder?

06.04.2011, 17:40

dragoneye

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zu 1) Natürlich soll N(u) dann ~ Poi(xu) verteilt sein und nicht Poi(tu)

07.04.2011, 14:05

dragoneye

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Oder müsste ich die Stationarität und die Unabhängigkeit der Zuwächse gar nicht mehr nachweisen, da N sowieso schon stationäre und unabhängige Zuwächse hat?

08.04.2011, 18:30

dragoneye

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schade dass mir niemand helfen kann...

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