Untermannigfaltigkeiten

06.04.2011, 15:01	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Untermannigfaltigkeiten Meine Frage: Hallo, kann mir jemand für folgende 3 Definitionen/ Sätze jeweils ein gut verständliches, nachvollziehbares Beispiel geben, damit ich sie besser verstehe (Die abstrakte Seite ist mir nämlich nicht so klar geworden.)? 1. $\begin{eqnarray} M\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ist k-dimensionale Untermannigfaltigkeit der Klasse $\begin{eqnarray} C^{\alpha}, \alpha\geq 1 \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \forall a\in M \exists \end{eqnarray}$ offene Umgebung $\begin{eqnarray} U\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ von a und $\begin{eqnarray} f_1,\hdots ,f_{n-k}\in C^{\alpha}(U,\mathbb R ) \end{eqnarray}$ mit (a) $\begin{eqnarray} M\cap U=\left\{x\in U: f_1(x)=\hdots =f_{n-k}(x)=0\right\} \end{eqnarray}$ (b) Rang $\begin{eqnarray} \frac{\partial (f_1,\hdots ,f_{n-k})}{\partial (x_1,\hdots ,x_{n-k})}(a)=n-k \end{eqnarray}$ 2. Sei $\begin{eqnarray} M\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ k-dimensionale Untermannigfaltigkeit der Klasse $\begin{eqnarray} C^{\alpha}, a=(a_1,\hdots ,a_n)\in M \end{eqnarray}$ . Dann: Nach evtl. Umnummerierung der Koordinaten $\begin{eqnarray} (x_1,\hdots ,x_n) \exists \end{eqnarray}$ offene Umgebungen $\begin{eqnarray} U'\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} a'=(a_1,\hdots ,a_k) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U''\subseteq \mathbb R^{n-k} \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} a''=(a_{k+1},\hdots ,a_n) \end{eqnarray}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray} g\in C^{\alpha}(U',U'') \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} M\cap (U'\times U'')=\left\{(x',x'')\in U'\times U'': x''=g(x')\right\} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x'=(x_1,\hdots ,x_k), x''=(x_{k+1},\hdots ,x_n) \end{eqnarray}$ 3. Es sei $\begin{eqnarray} E_k=\left\{x\in \mathbb R^n :x_{k+1}=\hdots =x_n=0\right\} \end{eqnarray}$ k-dimensionale Ebene, [/latex] M\subseteq \mathbb R^n [/latex]. Dann ist M k-dimensionale Untermannigfaltigkeit genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \forall a\in M \exists \end{eqnarray}$ offene Umgebung $\begin{eqnarray} U\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C^{\alpha} \end{eqnarray}$ - Diffeomorphismus $\begin{eqnarray} F : U\to V \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} F(M\cap U)=E_k\cap V \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} V\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray}$ offen, F bijektiv, $\begin{eqnarray} F, F' \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} C^{\alpha} \end{eqnarray}$ - Abb.) Es wäre sehr nett!! Meine Ideen: ...
06.04.2011, 20:38	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm einfach $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und darin die 2-Sphäre $\begin{eqnarray} S^2 \end{eqnarray}$ . Das Erste ist die Charakterisierung als Nullstellenmenge [hier sogar global] durch $\begin{eqnarray} f_1(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1 \end{eqnarray}$ , das Zweite ist die Charakterisierung als [lokaler] Graph einer differenzierbaren Abbildung, hier zb durch $\begin{eqnarray} (x,y)\mapsto \sqrt{1-(x^2+y^2)} \end{eqnarray}$ und das Dritte sagt, dass das Objekt lokal aussieht wie eine Ebene, hier also dass es lokal aussieht wie ein Stück $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ .
06.04.2011, 21:17	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankesehr für die Antwort. Bei 1.) hast du also einfach eine Funktion definiert, bei der halt für das $\begin{eqnarray} f_1(x,y,z) \end{eqnarray}$ 0 herauskommt. Bei 2.) hast Du also $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2=1 \end{eqnarray}$ nach z umgeformt und dann das so aufgeteilt, dass $\begin{eqnarray} (x,y)=x', z=x'' \end{eqnarray}$ und dann eben entsprechend der Umformung nach z eine Funktion definiert. Bei 3.) müsste man jetzt einen Diffeomorphismus finden. Korrekt?
07.04.2011, 08:15	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, im Prinzip korrekt, nur würde ich an deiner Stelle mich zuallererst nicht sosehr auf die konkreten Formeln versteifen. Der Witz an einer $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -dimensionalen Untermannigfaltigkeit ist einfach, dass das Ding um jeden seiner Punkte eine Umgebung besitzt und diese Umgebung "sieht aus" wie ein Stück flaches $\begin{eqnarray} \mathbb R^k \end{eqnarray}$ und dieses "sieht aus" heisst hier, dass es diffeomorph ist. Anschaulich heisst das, dass man die Umgebung ein bischen verbiegen können muss und dann muss es flach sein, also wie ein Stück $\begin{eqnarray} \mathbb R^k \end{eqnarray}$ aussehen. Das ist die anschauliche Interpretation. Das "differenzierbar" kommt dabei nur in "Umgebung ist diffeomorph" zum Tragen, in den ersten beiden Charakterisierungen siehst du was das konkret heisst: Das Differential der Funktion, die die UMF lokal als Nullstellenmenge beschreibt, soll maximalen Rang haben und das stellt sicher, dass man in jedem Punkt der UMF den Satz über implizite Funktionen anwenden kann. Konkreter: Um jeden Punkt der UMF gibt es eine Umgebung und diese Umgebung sieht aus wie der Graph einer differenzierbaren Abbildung. Anders gesagt, die UMF sieht lokal immer aus wie der Graph einer differenzierbaren Abbildung. In der Sphäre ist das zb. die obere Hemisphäre. Und dabei siehst du auch dass das meist nur lokal geht: Du kannst die Sphäre nicht als Ganzes als Graph einer differenzierbaren Funktion der geforderten Bauart beschreiben.

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