zyklische gruppen, abelsche gruppen

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gallier90 Auf diesen Beitrag antworten »
zyklische gruppen, abelsche gruppen
mein problem:
ich möchte möglichst leicht zeigen, dass nicht gilt, dass jede abelsche gruppe eine direkte summe von zyklischen gruppen ist.

ich weiß, dass die rationalen zahlen, das ist ja irgendiwe anschaulich, keine direkte summe von zykl. gruppen ist, also denke ich, wenn ich das formal zeigen kann, dass es reicht. rationale zahlen sind ja abelsch.

nur leider weiß ich nicht, wie ich das zeigen kann. kann mir da jemand helfen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Versuch.
Hallo,

also du möchtest zeigen, dass z.B. die rationalen Zahlen nicht endlich erzeugt sind, nach dem Hauptsatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen?

Dann nimm dir ein endliches Erzeugendensystem und suche einen Bruch, den du damit nicht erzeugen kannst.

Formal einfacher wäre es mit IR. Denn die sind überabzählbar unendlich und abelsch. Mit dem Hauptsatz erzeugt man aber Gruppen mit abzählbarer Ordnung.
 
 
gallier90 Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die umformulierung des problems. das hat schon geholfen.
ich hab mir jetz mal folgendes überlegt:
kann ich nicht annehmen, dass 2 brüche elemente einer basis der rationalen zahlen sind, sagen wir und und dann zeigen:

und so zeigen, dass die beiden brüche abh. sind voneinander.
dann habe ich gezeigt, dass es nie möglich ist, die rat. zahlen durch direkte summe von zykl gruppen darzustellen, oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Begriff Basis in diesem Zusammenhang bin ich zu wenig bewandert.

Ich würde mir das Erzeugendensystem aufschreiben. Imho kann man da o.B.d.A. vollständig gekürzte Brüche nehmen. Nun hat man endlich viele Brüche. Welche Nenner kann man mit denen erzeugen? Welchen Nenner bestimmt nicht?
gallier90 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, da es unendlich viele primzahlen gibt, nehme ich irgend eine primzahl für den nenner, die nicht in meiner basis vorkommt und kann diese nicht erzeugen, also kein endliches erzeugendensystem. so?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Beispiel.

Man kann auch üebr den Hauptnenner N gehen, den Nenner N+1 kann man dann auch nicht erzeugen.
gallier90 Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, dass ich dieses thema nochmals aufrufe.
ich habe hier eine begründung für meine oben gemachte aussage liegen, es steht da (sinngemäß):

es ist zu sehen, dass die rationalen zahlen keine direkte summe von zyklischen gruppen ist, daran, dass für ein beliebiges x aus den rationalen zahlen und ein ganzzahliges n ein element y aus den rationalen zahlen exisitert, damit gilt:
ny=x
offensichtlich geht das nicht bei einer direkten summe von zyklischen gruppen

die aussage würde ich gerne verstehen, tue es aber nicht.
kann mir das jemand anschaulich, oder in seinen worten erkären? ich würde mich sehr freuen

der gallier
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Gruppe hat die überaus spezielleEigenschaft teilbar zu sein... Dass diese Eigenschaft wirklich sehr speziell ist, sieht man schon daran, dass es keine endliche teilbare Gruppe mit mehr als einem Element geben kann und auch natürlich nicht teilbar ist... Damit scheidet natürlich eine Darstellung von als direkte Summe von zyklischen Gruppen aus, da die direkten Summanden als epimorphe Bilder unter den Projektionen selbst teilbar sein müssten....
gallier90 Auf diesen Beitrag antworten »

danke Mystic, für deine schnelle antwort.
der link auf wikipedia hat mir klar gemacht, dass es teilbare gruppen gibt, und was das bedeutet.
mir fällt es aber noch schwer, die folgerung

"Damit scheidet eine Darstellung von als direktes Produkt von zyklischen Gruppen natürlich aus.... "

nachzuvollziehen. kannst du das eventuell noch etwas ausformulieren?

ich denke es geht in die richtung:
zyklische gruppen (ordnung unendlich) sind isomorph zu
wenn ich also nur isomorphe gruppen zu betrachten kann und diese auf eine art miteinander als direkte summe verknüpfen will, werde ich nie bei rauskommen.

bei der begründung muss ich wohl noch das mit den teilbaren gruppen einfließen lassen?!
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab das gerade oben selbst noch etwas besser formuliert... Was man hier braucht ist

1. Zyklischen Gruppen mit mehr als einem Element sind niemals teilbar
2. Homomorphe Bilder von teilbaren Gruppen sind wieder teilbar

Die Eigenschaft 2. wendet man dann insbesondere auf die Projektionen einer Darstellung einer teilbaren Gruppe als direkte Summe an...
gallier90 Auf diesen Beitrag antworten »

ist es dann also im groben richtig gesagt, dass wenn ich eine teilbare gruppe als direkte summe darstellen will, dass die elemente der direkten summe wieder teilbare gruppen sein müssen?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gallier90
ist es dann also im groben richtig gesagt, dass wenn ich eine teilbare gruppe als direkte summe darstellen will, dass die elemente der direkten summe wieder teilbare gruppen sein müssen?

Wenn du damit die direkten Summanden meinst, ja, das ist ja der Kern des obigen Arguments...
gallier90 Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar, dann hab ichs verstanden,
vielen vielen dank für deine hilfe und die zeit die du für mich geopfert hast smile
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