Doppelsumme vereinfachen

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~david~ Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelsumme vereinfachen
Hallo!

Ich möchte gerne folgende Identität beweisen:



Dabei darf man benutzen, dass folgendes gilt:



Also erhalte ich:





Wie kann man das vereinfachen und beweisen, dass dabei herauskommt? Da müssen ja eigentlich viele Terme wegfallen; aber ich sehe das nicht.

Ich wäre für eure Hilfe dankbar!

Ciao,
David
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ~david~
Also erhalte ich:


Bis hierhin gut. Am besten fährst du jetzt mit einer Vertauschung der Summationsreihenfolge fort, also

.
~david~ Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich weitermache, habe ich zu deinem Vorschlag eine Frage:

Ich kenne die Vertauschung der Summationsreihenfolge so:



Aber das ist ja nicht das selbe wie das, was du geschrieben hast.

Warum darf man das so machen, wie du es geschrieben hast?
Ich verstehe es leider nicht...

Vielen Dank!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ~david~
Ich kenne die Vertauschung der Summationsreihenfolge so:


Das ist richtig, sofern die Grenzen und der inneren Summe nicht vom äußeren Summationsindex abhängen, d.h., wenn man über ein "Gitterpunktrechteck" summiert.

Auf deine Doppelsumme trifft diese Charakterisierung nicht zu, da summiert man über ein "Gitterpunktdreieck". Frag mich jetzt nicht, was diese Begriffe bedeuten, sondern mal es dir mal selber auf, dann verstehst du - und du verstehst auch, warum die Vertauschung eine Doppelsumme so wie von mir oben angegeben ergibt.


EDIT: Zum Verständnis dieser Vertauschung kann man sich auch einer Indikatorfunktion bedienen:

~david~ Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Hilfe dieser Indikatorfunktion hab' ich das nun verstanden.
Man ändert also die Summationsreihenfolge und lässt den Ausdruck selbst unverändert.

Aber was vereinfacht sich dadurch? Denn der Ausdruck



sieht ja immer noch genau so kompliziert aus.

Übrigens hat Maple vorher (als ich die Summationsreihenfolge noch nicht änderte) das richtige Ergebnis ausgegeben, aber nun gibt es plötzlich als Ergebnis aus. Wie kann das sein?
Ich verwende Maple normalerweise nur, um meine Ergebnisse zu überprüfen.

_____
David
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ~david~
Übrigens hat Maple vorher (als ich die Summationsreihenfolge noch nicht änderte) das richtige Ergebnis ausgegeben, aber nun gibt es plötzlich als Ergebnis aus. Wie kann das sein?

Die "Hörigkeit" zu solchen CAS solltest du dir abschminken - die machen in Details immer mal solche Fehler. Es kann natürlich auch an einer Fehlbedienung liegen.

Jedenfalls kann man erstmal alle nicht von abhängigen Terme faktoriell abtrennen:



Und jetzt schau dir mal das in eckigen Klammern genau an, und denk dabei (nach einer passenden Indexverschiebung) an den binomischen Satz.
 
 
~david~ Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Vielen Dank für den Tipp.

Ich habe jetzt mittels Indexverschiebung:



herausbekommen.

Somit ergibt sich:



Das würde zwar stimmen, aber eigentlich liegt oben die Form gar nicht vor, um schreiben zu können, denn um den binomischen Satz anwenden zu können, müsste ich ja folgende Situation haben:



Also müsst auch der Exponent von gleich sein und nicht .

Oder hab ich da einen Denkfehler?

Viele Grüße,
David
~david~ Auf diesen Beitrag antworten »

Edit:
Ich meinte natürlich nicht den Exponenten von , sondern den Exponenten von in meinem vorherigen Beitrag. An dem Problem ändert sich dadurch nichts.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Schon mal daran gedacht, dass für alle ganzen Zahlen gilt? Und statt schreib besser .
~david~ Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke, das war's. Jetzt geht es auf!

LG,
David
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