Metrik mit Primfaktorenzerlegung

06.04.2011, 21:10	chr000	Auf diesen Beitrag antworten »
Metrik mit Primfaktorenzerlegung Meine Frage: Sei p eine Primzahl. Definiere vp : QQ \ {0} -> ZZ folgendermaßen: Wenn $\begin{eqnarray} 0\neq x\notin Q \end{eqnarray}$ , dann schreibe die eindeutige Primfaktorzerlegung von x als $\begin{eqnarray} x = \prod\limits_{q prim} {q^{a_{q}}} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} a_{p}\in ZZ \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_{p}:=a_{p} \end{eqnarray}$ . Es wird dann die Distanzfunktion $\begin{eqnarray} d_{p}(x,y) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x = y \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ definiert und sonst $\begin{eqnarray} p^{-v_{p}(x-y)} \end{eqnarray}$ zeigen sie, dass die rationalen Zahlen mit dieser Distanzfunktion einen ultrametrischen Raum bildet. $\begin{eqnarray} (d_{p}(x,y) <= max(d_{p}(x,z),d_{p}(z,y)) \end{eqnarray}$ gilt als Verschäfung der Dreiecksungleichung Meine Ideen: So ich habe schon alles selbst gezeigt, was man für einen metrischen Raum zeigen muss außer diese verschärfte Dreiecksungleichung und dort komme ich nciht so ganz dahinter wie ich die zeigen soll (hab schon versucht mir die Primfaktorenzerlegungen von den einzelnen Punkten aufzuschreiben und irgendwas mir dem p dadrin zu machen hat allerdings alles bisher zu nichts geführt). Wäre sehr dankbar wenn mir irgendjemand einen Schubs in die richtige Richtung geben kann.

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