Partialbruchzerlegung mit mehrfacher Nullstelle

04.12.2006, 18:19	rulosapire	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung mit mehrfacher Nullstelle Moin, sitze jetzt schon seit geraumer Zeit vor der Partialbruchzerlegung von $\begin{eqnarray} \frac{4x^{3}-2x^{2}-3x+2}{x^{4}-x^{3}-3x^{2}+5x-2} \end{eqnarray}$ . Nullstellen sind x1=-2 sowie x2=x1=x=1. Es gibt also eine Dreifachheit der Nullstelle 1. Die Partialbruchzerlegung ergibt damit $\begin{eqnarray} \frac{A1}{x+2} + \frac{B1}{(x-1)} + \frac{B2}{(x-1)^{2}} + \frac{B3}{(x-1)^{3}} \end{eqnarray}$ . Multipliziert mit dem Hauptnenner $\begin{eqnarray} (x+2)(x-1)^{3} \end{eqnarray}$ ergibt das dann $\begin{eqnarray} A1(x-1)^{3} + B1(x+2)(x-1)^{2} + B2(x+2)(x-1) + B3(x+2) \end{eqnarray}$ . Soweit müsste bisher alles richtig sein, es sei denn ich habe mich verschrieben... Jetzt der Koeffizientenvergleich: Für A1 bekomme ich (bei eingesetzter Nullstelle x1=-2) raus A1=32/27. Genauso für B3 (x3=1) logischerweise B3=1/3. Die Werte stimmen auch, habe ich bereits mit Maple nachgerechnet. Nur wie komme ich auf B1 & B2 ? Wenn ich da die Nullstelle x2=x3=1 einsetze bekomme ich ja durch (x-1)^2 = (1-1)^2 = 0^2 =0 raus und B1 bzw. B2 fallen weg. In meinem Lehrbuch wird seltsamerweise für diese Konstanten B1 & B2 dann x=0 eingesetzt, was ich aber nicht verstehe da 0 in der Beispielaufgabe auch keine Nullstelle ist. Das habe ich trotzdem versucht, komme aber auch nicht aufs richtige Ergebnis. Laut Maple muss übrigens B1=76/27 und B2=14/9 sein. Wahrscheinlich sitze ich schon zu lange davor dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr sehe. Vielleicht hat ja hier jemand ne Idee. Danke schonmal. Ciao, Martin.
04.12.2006, 18:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei einer PBZ ist deine Methode, die Nullstellen einzusetzen, eine sehr schnelle, um die Koeffizienten zu berechnen, falls nur einfache Nullstellen vorhanden sind! Bei mehrfachen Nullstellen funktioniert das, wie du siehst, nicht. Da muss man dann eine der anderen Methoden anwenden. 1. Die Gleichung soll ja für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ gelten. Dann kannst du auch einfach zwei beliebige Zahlen für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ einsetzen, z.B. $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ . Dann erhältst du ein Gleichungssystem für $\begin{eqnarray} B_2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_3 \end{eqnarray}$ . Im Prinzip machst du ja sonst auch nichts anderes. Nur dass du sonst eben immer die Nullstellen einsetzt und, bis auf eine, glücklicherweise alle Variablen wegfallen. Hier setzt du auch etwas für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ein, aber eben keine Nullstelle. Deswegen bleiben zwei oder mehr Variablen übrig. 2. Eine weitere Methode ist der Koeffizientenvergleich. Der bietet sich aber bei der Form, in der du die Gleichung hast, hier nicht an. Falls du diese Methode trotzdem kennen lernen willst, nutze die Boardsuche, Wikipedia oder Google ... Gruß MSS
05.12.2006, 08:51	Lichy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partialbruchzerlegung mit mehrfacher Nullstelle Genau, dann bekommst du ein Gleichungssystem - B2 und B3- was du integrieren kannst
05.12.2006, 14:19	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nichts mit Integrieren! Du willst ein GLS integrieren? Was soll das bringen? Und wie soll das gehen? Gruß MSS
05.12.2006, 16:50	Lichy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, sorry. Für die Werte aus dem GLS kannst du selbstverständlich deine Partialbrüche bilden, die du dann integrieren kannst
05.12.2006, 17:00	rulosapire	Auf diesen Beitrag antworten »
OK Leute, danke euch, hab die Aufgabe jetzt ! Ciao, Martin.
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