Probe für Darstellungsmatrix

06.04.2011, 23:02

TineTurtle

Probe für Darstellungsmatrix

Meine Frage:
Halli hallo,
also es geht darum, wie ich nach dem Berechnen einer Darstellungsmatrix überprüfen kann, ob ich das richtig gemacht habe. Eigentlich müsste doch, wenn ich einen Vektor in die Gleichung Ax=y einsetze das Bild des Vektors unter der Abbildung rauskommen. Aber ich verstehe schonmal nicht, unter welcher Basis das dann passiert. Also mal konkret an nem Beispiel:

Die Abbildungsvorschrift für die Abbildung f: V -> W lautet:
f(x,y)= (2x-2y,x+y)
V hat die Basis B={(5,8),(-1,1)} und W die Basis C={(0,1),(1,1)}

Um jetzt die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} _B M_C(f) \end{eqnarray*}$ (also von B auf C und nicht andersrum, das scheint manchmal irgendwie nicht so eindeutig zu sein) zu berechnen muss man ja die Bilder der Basis B als Linearkombination der Basis C darstellen. Hab ich fleißig gemacht und folgende Matrix rausbekommen (die laut Buch auch richtig ist):
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 14 & 5 \\ -1& -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
So... und jetzt mein Problem: Eigentlich müsste man doch jetzt irgendwie einen Vektor mit der Matrix multiplizieren können, sodass das Bild rauskommt, aber dann kommt zum Beispiel sowas raus:

$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} 5 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 5 \\ -1& -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 \\ 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 110 \\ -45\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist doch murx. Da müsste doch eigentlich irgendwie $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 13 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ rauskommen oder nicht? Also das Ergebnis, wenn ich den Vektor oben in die Abbildungsvorschrift einsetze. Oder muss ich da noch irgendwas unter irgendeiner Basis darstellen? Hab da auch ein bisschen rumprobiert, aber nichts rausgefunden. Aber ich meine, die Darstellungsmatrizen sind doch eigentlich dazu da, damit man mit denen dann rechnen kann... aber ich kanns halt leider nicht ;-)

Was ich auch nicht verstehe, man sagt doch immer, es ist die Darstellungsmatrix bezüglich einer Basis. Aber hier sinds ja zwei die explizit angegeben sind. Wie haben das sonst immer nur von einer auf die gleiche gemacht. Bin vollkommen verwirrt.

Vielleicht kann mich ja jemand bitte bitte aufklären. Das wäre toll.

Grüße
Tine

07.04.2011, 00:18

Merlinius

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Du musst die Vektoren schon bzgl. der Basis darstellen, wenn Du sie mit der Matrix bzgl. deiner Basen multiplizieren willst.

In diesem Fall ist $\begin{eqnarray*} (5, 8) = (1, 0)_B \end{eqnarray*}$ . Wenn Du da jetzt links die Matrix dranmultiplizierst, bekommst Du $\begin{eqnarray*} (14, -1)_C \end{eqnarray*}$ raus, also $\begin{eqnarray*} 14(0,1)-1(1,1) \end{eqnarray*}$ und dies entspricht (-1, 13), genau wie es soll.

Ist ja auch irgendwie klar, denn die Darstellungsmatrix ändert sich mit der Wahl anderer Basen. Aber "Deine" Berechnungsmethode würde für jede Basis das selbe Ergebnis liefern.

Zitat:

Was ich auch nicht verstehe, man sagt doch immer, es ist die Darstellungsmatrix bezüglich einer Basis. Aber hier sinds ja zwei die explizit angegeben sind. Wie haben das sonst immer nur von einer auf die gleiche gemacht. Bin vollkommen verwirrt.

Also wenn man zwei verschiedene Vektorräume V und W hat, dann muss man schon beide Basen angeben, und dann spricht man eigentlich auch immer von der "Darstellungsmatrix bzgl. der Basen". Wenn man natürlich einen Endomorhpismus hat, also eine lineare Abbildung von einem Raum V in sich selbst, kann man von einer Basis sprechen. Oder man sagt oft auch "bzgl. der Standardbasis", wenn man eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ hat.

07.04.2011, 08:48

TineTurtle

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AAaaaaaaaaaah :-)
Mein Fehler war einfach, dass ich dann versucht hab (14,1) als Linearkombination darzustellen, anstatt es EINZUSETZEN. Ist ja auch ganz logisch, dass mans jetzt rückwärts machen muss ;-)

Vielen vielen Dank, ich habs jetzt verstanden :-) werds gleich mal an nem andern Beispiel testen. Danke!!!

Tine

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