Taylorpolynom

07.04.2011, 10:38

SonjaZ

Taylorpolynom

Hallo miteinander!

Wir haben kürzlich das Taylorpolynom behandelt und Übungen dazu gemacht (noch nicht korrigiert).
Da ich sicher gehen möchte, dass ich es richtig gemacht habe, wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, ob das Folgende korrekt ist oder eben nicht.

Zu berechnen ist das Taylorpolynom zweiter Ordnung.
Sei $\begin{eqnarray*} g: \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x,y) \to e^xsin(y) \end{eqnarray*}$
in a = (0, Pi/2).

Dann hab ich für das Taylorpolynom $\begin{eqnarray*} 1+x+\frac{1}{2}x^2 -xy \end{eqnarray*}$ rausbekommen. Ist das korrekt?
(auf Ausführungen verzichte ich vorerst - denn wenn das Ergebnis korrekt ist, müssen auch die Zwischenschritte stimmen)

Liebe Grüsse, Sonja

07.04.2011, 15:46

Dopap

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ich komme auf

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=-\frac 1 8 \pi^2 +\frac {\pi} 2 y+\frac 1 2 x^2 +x -\frac 1 2 y^2 +1 \end{eqnarray*}$

07.04.2011, 22:02

SonjaZ

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Ouw.
Na dann poste ich mal, was ich gemacht habe.

Erst einmal die Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f_x = e^xsin(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_y = e^xcos(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xx} = e^xsin(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xy} = e^xcos(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{yy} = e^x(-sin(y)) \end{eqnarray*}$

Das Taylorpolynom zweiter Ordnung lautet:
$\begin{eqnarray*} T_2 (x, a) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = e^xsin(y) + \frac{1}{1} (e^xsin(y) \cdot x + e^xcos(y) \cdot y ) + \frac{1}{2} ( e^xsin(y) \cdot x^2 + 2 \cdot e^xcos(y) \cdot xy + e^x(-sin(y)) \cdot y^2 ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 -xy \end{eqnarray*}$

..ich seh grade, dass ich jeweils (x-a) bzw (x-a)^2 weggelassen habe.
..allerdings: Ist das wirklich der Fehler? Bzw. wie wäre die ganze Berechnung wirklich korrekt?

Liebe Grüsse,
Sonja

07.04.2011, 22:44

Dopap

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Zitat:

Original von SonjaZ

Das Taylorpolynom zweiter Ordnung lautet:
$\begin{eqnarray*} T_2 (x, a) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!} (x-a) + \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 \end{eqnarray*}$

Das ist das T-Polynom für Funktionen $\begin{eqnarray*} \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$

hier liegt aber $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ vor

07.04.2011, 23:00

SonjaZ

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Hm. Dumme Frage..aber wie sieht das denn von IR^2 -> IR aus?
(also die Theorie (wikipedia) habe ich gelesen, aber diese kann ich nicht anwenden..zumindest nicht auf das Beispiel hier :S )

07.04.2011, 23:04

Dopap

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$\begin{eqnarray*} f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)+\frac 1 2 f_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+\\ \frac 1 2 f_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2+ f_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0) \end{eqnarray*}$

x_0=0
y_0=pi/2

die partiellen Ableitungen liegen vor. Noch einsetzen.

07.04.2011, 23:09

Cel

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Siehe dazu auch hier, als Ergänzung.

07.04.2011, 23:26

Dopap

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@Cel: coole Bilder in deinem Workshop Freude

mein Taschenrechner kann die nur in Grau, dafür aber beliebig drehbar im Raum.
Das mit der Hesse Matrix ist 'ne feine Sache, wenn bei N=2 Schluss ist.

08.04.2011, 00:36

SonjaZ

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Hmm..dann würde ich aber folgendes erhalten (in der gleichen Reihenfolge wie bei dir, Dopap):
f(x,y) = 1 + x + 0 + 0.5 x^2 + 0.5 y^2 + 0.

Ich vermute, dass mein Fehler hier liegt: $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 f_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2 \end{eqnarray*}$
Wie sieht die Berechnung hierzu denn ganz explizit aus? (sorry, dass ich so dumm frage..)

Liebe Grüsse, Sonja

08.04.2011, 00:53

Dopap

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Zitat:

Original von SonjaZ

Ich vermute, dass mein Fehler hier liegt: $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 f_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =0.5e^0(-\sin(\pi/2)(y-\pi /2)^2)=-0.5(y-\pi/2)^2=-0.5y^2+0.5y\pi -\frac {\pi^2} 8 \end{eqnarray*}$

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