Extremum

07.04.2011, 11:22

Leo1234

Extremum

Hi @ all!

Ich habe folgende Aufgabe:
Sei A = { (x,y) aus IR^2 | |x| + |y| <= 1} und die Abbildung f: A -> IR, (x,y) -> x^2 + xy.
Zu berechnen sind das Max wie auch das Min von f auf A.

Hier das, was ich gemacht habe:
$\begin{eqnarray*} f_x = 2x+y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_y = x \end{eqnarray*}$
Dass beide Ableitugen 0 sind, muss (x,y) = (0,0) gelten.

Die Hessematrix lautet: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , d.h |H| = -1 < 0 und aber f_(xx) > 0.
D.h. es ist eigentlich keine Aussage möglich..oder doch?
Wie auch immer - irgendwas kann auch so noch nicht stimmen..sie schreiben, als gäbe es ein Min. und ein Max... Was muss ich also anders machen? Und wie?

Liebe Grüsse, Leo

07.04.2011, 11:45

system-agent

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Ja, die Hessematrix ist indefinit in diesem Punkt und das bedeutet, dass dort ein Sattelpunkt ist.

Und ja, die Funktion ist differenzierbar, als solche auch stetig auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Ausserdem ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ kompakt und daher muss die Funktion ein Extremum annehmen, genauer sie nimmt auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ Minimum und Maximum an.

Das was du bisher überprüft hast ist, dass die Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ nur im Nullpunkt einen kritischen Punkt hat und mit der Hessematrix hast du gezeigt, dass dies kein Extremum ist.
Bleibt also der Rand von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ zu überprüfen.

07.04.2011, 12:17

Leo1234

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Also mit Rand meinst du die Punkte (1,0), (-1,0), (0,1) und (0,-1) ?

07.04.2011, 12:43

Mystic

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Zitat:

Original von Leo1234
Also mit Rand meinst du die Punkte (1,0), (-1,0), (0,1) und (0,-1) ?

Der Rand ist natürlich |x|+|y|=1... Warum bist du ausgerechnet von diesen 4 Punkte auf der Randkurve so angetan? Was hat es mit diesen für eine Bewandtnis? verwirrt

07.04.2011, 14:04

Leo1234

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Ok. Der Rand ist |x|+|y|=1. Aber wie kann man mit dieser Angabe Extremalpunkte finden? Setzt man für x einfach 1-y? (analoges für y)

07.04.2011, 14:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von Leo1234
Setzt man für x einfach 1-y?

Im Prinzip ja mit entsprechenden Fallunterscheidungen. Da das y in der Funktion nur einmal vorkommt, wäre es vermutlich einfacher, das nach y aufzulösen.

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