Basis von lineare Hülle

07.04.2011, 12:59

Pustefix91

Basis von lineare Hülle

Moin Leute,

es geht um folgendes: Seien $\begin{eqnarray*} u_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} , u_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} u_{} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} , w = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} , u_{1}, u_{2}, u_{3},w \in \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ gegeben.

(i) Bestimmen Sie eine Basis für den Unterraum $\begin{eqnarray*} U= Lin(u_{1}, u_{2}, u_{3}) \end{eqnarray*}$ von V.

(ii) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} U\cap T, U + T \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} U= Lin(u_{1}, u_{2}, u_{3}) , T = Lin(w) \end{eqnarray*}$

(iii) Bestimmen Sie das Komplement zu $\begin{eqnarray*} U= Lin(u_{1}, u_{2}, u_{3}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ .

Zu (i) zunächst habe ich geprüft ob $\begin{eqnarray*} u_{1}, u_{2}, u_{3} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. Sind sie nicht. Wie finde ich nun dort eine Basis? verwirrt

. Rang von Matrizen hatten wir noch nicht... Geht das irgendwie anders?

Schönen Gruß Pustefix91

07.04.2011, 13:05

Pustefix91

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Wäre $\begin{eqnarray*} (u_{1}, u_{2} ) \end{eqnarray*}$ dann nicht eine Basis? Diese beiden Vektoren sind linear unabhängig und $\begin{eqnarray*} u_{3} \end{eqnarray*}$ lässt sich aus denen beiden schreiben.?

Schönen gruß Pustefix91

07.04.2011, 13:30

Pustefix91

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Habe nun auch was zu (ii) und (iii) raus... Weiß aber nicht obs stimmt. Würde mich freuen, wenn jemand mal drüber schaut Augenzwinkern

Zu (ii): Hier habe ich versucht w als linearkombination von den u1,u2,u darzustellen. Dies ist mir nicht gelungen. Somit müsste $\begin{eqnarray*} U\cap T = \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U + T = \left\{ u_{1}, u_{2}, u_{3}, w\right\} \end{eqnarray*}$ sein.

Zu (iii): Um das Komplement zu finden, muss ich einen Vertreter finden, der U zu einer Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ erweitert. Da müsste $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Kandidat für sein.

Hoffe es stimmt so.

Schönen Gruß Pustefix91

07.04.2011, 13:53

lgrizu

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Ist richtig, u_1 und u_2 bilden eine Basis von $\begin{eqnarray*} span \left\{u_1,u_2,u_3\right\} \end{eqnarray*}$ .

Der von w aufgespannte Raum ist eine Gerade, der von u_1 und u_2 aufgespannte Raum ist eine Ebene, beide gehen durch den Ursprung.

Oder, wenn die Vektoren linear unabhängig sind, wie du ja festgestellt hast, dann liegt die Gerade nicht in der Ebene und auch nicht parallel dazu, kann der Schnitt also leer sein?

07.04.2011, 14:00

Pustefix91

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Zitat:

Original von lgrizu
Ist richtig, u_1 und u_2 bilden eine Basis von $\begin{eqnarray*} span \left\{u_1,u_2,u_3\right\} \end{eqnarray*}$ .

Der von w aufgespannte Raum ist eine Gerade, der von u_1 und u_2 aufgespannte Raum ist eine Ebene, beide gehen durch den Ursprung.

Oder, wenn die Vektoren linear unabhängig sind, wie du ja festgestellt hast, dann liegt die Gerade nicht in der Ebene und auch nicht parallel dazu, kann der Schnitt also leer sein?

Nein, der Nullvektor ist enthalten. Ist U+T denn richtig? Wie sieht es mit (iii) aus?

07.04.2011, 14:06

lgrizu

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Okay, also weiter:

Zitat:

Original von Pustefix91
$\begin{eqnarray*} U + T = \left\{ u_{1}, u_{2}, u_{3}, w\right\} \end{eqnarray*}$ sein.

Das ist so nicht richtig, in U+T liegen wesentlich mehr Vektoren als nur vier, nämlich unendlich viele.

Zuerst einmal kann man sich Gedanken darüber machen, welche Dimension U+T haben muss, welche ist das?

Dann sind beides Unterräme des IR^3, also welcher Raum kommt dabei heraus?

Ich frage mich auch, warum du den Vektor u_3 immer noch "mitschleppst"...

07.04.2011, 14:22

Pustefix91

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Ok. dim(U+T) = dim(U) + dim(T) = 2+1 = 3 Also ist U+T ein erzeugendensystem von IR^3 und enthält somit unendlich viele Vektoren?

07.04.2011, 14:41

lgrizu

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U+T ist kein Erzeugendensystem des IR^3, U+T ist der IR^3 by itself. Augenzwinkern

Ein Erzeugendensystem eines endlichdimensionalen Vektorraums muss auch nicht unendlich viele Vektoren enthalten, eine Basis ist immerhin auch ein Erzeugendensystem und jeder endlichdimensionale VR hat auch eine Basis mit endlich vielen Elementen.
Oder noch besser: Jede Basis eines endlcihdimensionalen Vektorraums hat endlcih viele Elemente.

So, hätten wir das nun auch, sei mit den Begriffen vorsichtig, es ist zu unterscheiden, was ist ein Vektorraum und was eine Basis, und U+T ist sicherlich ein Vektorraum und nicht "nur" ein Erzeugendensystem.

Dein Komplement hast du eigentlich schon in der Aufgabe gegeben, muss man nur noch ablesen. Augenzwinkern

Dazu noch einmal die Bedingungen, die erfüllt sein müssen:

Seien U,W zwei Untervektorräume eines Vektorraums V, wir nennen W ein komplement zu U, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} U \cap W=\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U+W=V \end{eqnarray*}$

Was ist also ein Komplement zu U ?

07.04.2011, 14:51

Pustefix91

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T ist ein Komplement zu U. Habe aber noch eine Frage. Rein zum Verständnis... Wäre $\begin{eqnarray*} U = \left\{ u_{1}, u_{2}\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T = \left\{ w \right\} \end{eqnarray*}$ so wäre U+T eine Basis von IR^3 und nicht IR^3 selbst ?!

07.04.2011, 14:53

lgrizu

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Zitat:

Original von Pustefix91
T ist ein Komplement zu U. Habe aber noch eine Frage. Rein zum Verständnis... Wäre $\begin{eqnarray*} U = \left\{ u_{1}, u_{2}\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} T = \left\{ w \right\} \end{eqnarray*}$ so wäre U+T eine Basis von IR^3 und nicht IR^3 selbst ?!

Das beides sind nicht einmal (Unter)-Vektorräume, wie definierst du denn die Summe zweier Mengen?

Wenn du die als Vereinigung der beiden Mengen definierst, dann ist die Menge $\begin{eqnarray*} U \cup T \end{eqnarray*}$ eine Basis des IR^3......

07.04.2011, 14:55

Pustefix91

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Oh je. Ich hab die Vereinigung gemeint.... Dann muss ich die ganze Aufgabe noch mal überdenken...Jedenfalls danke. Hast mir sehr geholfen. Muss mir das wohl noch mal genauer anschauen.

07.04.2011, 15:02

lgrizu

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Die Summe zweier Mengen zu definieren als deren Vereinigung ist nichts unübliches, zum Beispiel in Mengenalgebren kann das durchaus sinnvoll sein.

Edit: Das schweift aber ein wenig vom Thema ab.

Wenn du noch Hilfe brauchst, melden. Augenzwinkern

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