Beweis Untermannigfaltigkeit

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis Untermannigfaltigkeit
Meine Frage:
seien gegeben durch:


.

Man zeige

1.) ist eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit.

2.) ist eine globale Parameterdarstellung von C.

Meine Ideen:
Zu 1.)

Welche Beschreibung einer Untermannigfaltigkeit sollte man für diesen Beweis benutzen?

Nullstellengebilde, Graph, Diffeomorphismus oder Parameterdarstellung??

Ich entscheide mich für das Nullstellengebilde, weiß aber nicht, ob das eine gute Wahl ist.

Eine Untermannigfaltigkeit kann man ja verstehen als lokales Nullstellengebilde von n-k - Funktionen, deren Gradientenvektoren in allen Punkten linear unabhängig sind.


Es muss also zu jedem Punkt eine offene Umgebung und eine alpha-mal stetig differenzierbare Funktion geben, sodass

(a) und
(b) Für jedes hat die Ableitung Rang 2.

Ich würde daher meinen, dass man jetzt eine solche Funktion h bestimmen muss.

Sehe ich das korrekt?
Spontan würde mir einfallen:

Jedenfalls würde ich sagen, dass h irgendwie aus f und g zusammengesetzt wird, denn für diese Funktionen kommt ja schon jeweils 0 heraus.

Wer kann mir weiterhelfen?


Bei 2. muss ich noch überlegen.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis Untermannigfaltigkeit
Zitat:
Original von Dennis2010
Ich entscheide mich für das Nullstellengebilde, weiß aber nicht, ob das eine gute Wahl ist.


Ganz sicher, denn das Ding ist doch bereits als die Nullstellenmenge der beiden Funktionen gegeben.


Der Rest ist leider ziemlich Unsinnig.
Die fragliche Menge ist per Definition diese Nullstellenmenge, also musst du nicht erst pro Punkt der vermeintlichen UMF eine Umgebung und passende Funktionen finden, die die UMF in dieser Umgebung als Nullstellenmenge haben.

Hier musst du einfach für jeden Punkt beweisen, dass das Differential der Funktion gegeben durch maximalen Rang hat, sprich den Rang 2 hat.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann also schreiben?

Mal eine Frage: Im Satz steht doch, dass es eine offene Umgebung um jeden Punkt aus C geben muss. Wieso muss man diese Umgebungen nicht angeben?

Die Funktion gibt man ja an, aber ich habe noch keine Aufgabe gesehen, bei der man auch die Umgebung angibt.

Liegt das an ?
Wenn das für ein Element aus C gelingt dann gibts auch so eine Umgebung, die man dann eben um dieses Element legt?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Das mit der Umgebung ist nur dafür da, dass man von differenzierbarkeit sprechen kann. Wenn du zb. in eine Kurve hast und eine Funktion betrachtest, die bloss auf der Kurve definiert ist, aber von 2 Variablen abhängt, dann kann man nicht von Differenzierbarkeit sprechen; in mindestens einer Koordinatenrichtung kann man nicht "wackeln".

Deine gegebenen Funktionen sind auf ganz definiert und differenzierbar, also kein Problem bzgl der Umgebung [nehme dann halt ].
Falls aber zb eine der Funktionen zb in der Null nicht differenzierbar wäre, die Kurve aber durch die Null ginge, dann gäbe es zb keine passende Umgebung. Dann müsstest du dir eine andere passende Funktion konstruieren.
Aber das kann hier natürlich nicht auftreten, denn die UMF ist schliesslich gerade als Nullstellenmenge zweier überall differenzierbarer Funktionen definiert.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal zur Absicherung:

Ich habe jetzt aufgeschrieben:

zu 1.)
[f und g sind auf ganz definiert und differenzierbar.]
Dann gilt:
(a) und
(b) Rang 2:
.

Die letzte Spalte ist nicht linear unabhängig, daher Rang 2.
Soviel zu 1.).

Fehlt noch 2.)

zz.: ist globale Parameterdarstellung von C.

Wenn ich es richtig verstehe, nennt man allgemein einen Homöömorphismus lokale Parameterdarstellung bzw. Karte von M, wobei offene Menge, - Immersion, offene Umgebung um ein und M Teilmenge von . (*)


Irgendwie verwirrt mich das.

Vermutlich muss ich nun genau dies alles für nachweisen? Und dann noch irgendwie zeigen, dass dies sogar global gilt?


Edit:

Es gibt ja einen Satz der besagt, dass C eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit ist genau dann, wenn das Obige, was ich unter (*) beschrieben habe gilt.
Vielleicht braucht man diesen Satz?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Und wo hast du nun bei (1) etwas bewiesen?
Bisher steht da nur das, was sowieso schon bekannt war und zusätzlich das Differential.

Du musst schon für jeden Punkt auch wirklich beweisen, dass das Differential den Rang 2 hat.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann man das denn beweisen?

Edit:

Also möglich sind ja nur Rang 1, Rang 2 oder Rang 3.

Rang 3 kann es nicht sein, da es nur 2 Zeilen gibt.
Jeweils 2 Spalten sind linear unabhängig, daher kann der Rang auch nicht 1 sein, es bleibt nur, dass der Rang 2 ist.

Ich weiß ansonsten nicht, was Du mit "beweisen" meinst.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Wie in der linearen Algebra auch: Damit zwei Vektoren in linear unabhängig sind, muss ihre Determinante ungleich Null sein.

In deinem Differential hast du drei Spalten zur Auswahl. Nimm die leichteste Kombination, die geht.

Ja, es ist nur Rang 1 oder 2 möglich. Und jetzt schau dir nochmal die Definition der UMF an: dort wurde verlangt dass das Differential den maximal möglichen Rang hat, also hier 2.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe mir Spalte 2 und 3 herausgenommen und komme dann darauf, dass die Determinante 1 ist, also in der Tat ungleich 0.

[Ist das nun genug bewiesen?]


So und zu 2.---

Kannst Du noch was zu 2.) sagen?

Habe dazu oben schon meine Ideen aufgeschrieben.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dann hast du das bewiesen.

Im zweiten Teil musst du zuerst mal zeigen, dass die Abbildung auch tatsächlich ihre Werte in hat.
Danach zeigst du, dass sie bijektiv ist. Injektivität sollte trivial sein, bleibt also die Surjektivität.

Dass die Komponenten von dieser Abbildung genügend oft differenzierbare Funktionen sind, das sollte auch klar sein.

Und das was du meintest um den Satz zu nutzen:
Der Satz sagt dir nur, dass es eine [lokale] Parameterdarstellung gibt, er sagt dir aber nicht, dass eine Funktion die irgendwie vom Himmel fällt auch eine solche ist.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Grundsätzlich gilt doch aber (*)?

Das heißt .

Weil V ja eine offene Umgebung in C sein muss, meinst Du vermutlich, dass ich jetzt zeigen muss, dass ?

T ist ja Teilmenge von , aber hier ist ja sowieso . R ist ja ohnehin offen

Das ist mir verständlich.


Dann muss ich ja noch die eigentlichen Homöomorphismuseigenschaften zeigen, das heißt Bijektivität und doch auch Stetigkeit und Stetigkeit der Umkehrabbildung?

(Die Stetigkeit müsste aus der Differenzierbarkeit folgen, aber für die Umkehrfunktion muss man sie doch noch zeigen?)
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Grundsätzlich gilt doch aber (*)?


Es ist eine Definition, und eine solche gilt immer.


Zitat:
Original von Dennis2010
Weil V ja eine offene Umgebung in C sein muss, meinst Du vermutlich, dass ich jetzt zeigen muss, dass ?


Du musst zuerst mal zeigen, dass , und das geht indem du zeigst, dass für alle .

Zitat:
Original von Dennis2010
T ist ja Teilmenge von , aber hier ist ja sowieso . R ist ja ohnehin offen

Das ist mir verständlich.


Und zu was soll das jetzt gut sein?

Zitat:
Original von Dennis2010
Dann muss ich ja noch die eigentlichen Homöomorphismuseigenschaften zeigen, das heißt Bijektivität und doch auch Stetigkeit und Stetigkeit der Umkehrabbildung?


Ja.

Zitat:
Original von Dennis2010
(Die Stetigkeit müsste aus der Differenzierbarkeit folgen, aber für die Umkehrfunktion muss man sie doch noch zeigen?)


Ja.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Du musst zuerst mal zeigen, dass , und das geht indem du zeigst, dass für alle .


Okay.
, denn




Zitat:
Original von system-agent
Zitat:
Original von Dennis2010
T ist ja Teilmenge von , aber hier ist ja sowieso . R ist ja ohnehin offen


Das ist mir verständlich.


Und zu was soll das jetzt gut sein?


Stimmt, das ist überflüssig.

Zitat:
Original von system-agent
Zitat:
Original von Dennis2010
Dann muss ich ja noch die eigentlichen Homöomorphismuseigenschaften zeigen, das heißt Bijektivität und doch auch Stetigkeit und Stetigkeit der Umkehrabbildung?


Ja.


Okay, ich versuche es!
1. Injektivität von .
Zwei Urbilder haben die gleichen Bilder, also



2. Surjektivität von .
Da hakt es bei mir schon wieder.
Ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, wie man das zeigen kann.

3. Stetigkeit von
ist differenzierbar in jeder Komponente, also stetig in jeder Komponente?
Kann man das so schreiben?

4. Stetigkeit der Umkehrfunktion

Auch hier wäre ein weiterer Tipp toll.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Surjektivität.
Sei , das heisst also es gilt .
Wähle nun . Das Ziel ist es nun zu zeigen, dass . Hier helfen die Gleichungen (*).

Dieses Herumgerechne sollte auch eine Umkehrabbildung liefern.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht ganz, worauf das hinauslaufen wird, aber ich fange einfach mal an, die Tipps zu befolgen. Surjektivität bedeutet doch, dass es mindestens ein Urbild gibt? Und Du nimmst an, dass ein Urbild von ist?



Nun ist doch aber auch , also:

?

Für die Umkehrfunktion - ich weiß es nicht... - gilt dann vermutlich:
?

Ist das stetig?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Surjektivität bedeutet doch, dass es mindestens ein Urbild gibt?


Ja.

Zitat:
Original von Dennis2010
Und Du nimmst an, dass ein Urbild von ist?


Ich nehme garnix an. Der Punkt ist doch vorgegeben. Ich wähle einfach mal als .
Die Aufgabe bleibt also zu zeigen, dass die Wahl gut war.

Zitat:
Original von Dennis2010
Nun ist doch aber auch , also:


Ja, das stimmt - aber du musst schon begründen wieso das so ist.

Daraus folgt dann die Surjektivität:
Zu habe ich den Parameterwert als gewählt, also . Wegen deiner Bemerkung muss dann aber auch und gelten. Und das ist nichts anderes als .

Zitat:
Original von Dennis2010
Für die Umkehrfunktion - ich weiß es nicht... - gilt dann vermutlich:
?

Ist das stetig?


Nein, es ist die Abbildung [achte auf den Definitionsbereich !!] definiert durch .
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Zitat:
Original von Dennis2010
Surjektivität bedeutet doch, dass es mindestens ein Urbild gibt?


Ja.

Zitat:
Original von Dennis2010
Und Du nimmst an, dass ein Urbild von ist?


Ich nehme garnix an. Der Punkt ist doch vorgegeben. Ich wähle einfach mal als .
Die Aufgabe bleibt also zu zeigen, dass die Wahl gut war.


Okay, Du nimmst nichts an, aber beabsichtigt wird zu zeigen, dass es ein Urbild gibt, so korrekt?

Zitat:
Original von system-agent
Zitat:
Original von Dennis2010
Nun ist doch aber auch , also:


Ja, das stimmt - aber du musst schon begründen wieso das so ist.


Hm, wie soll ich denn das näher begründen:
Das ist doch so, weil die Funktion so definiert ist - würde ich sagen.
Die zweite Koordinate ist doch die erste Koordinate zum Quadrat.
Die dritte Koordinate ist die erste Koordinate hoch drei.

Zitat:
Original von system-agent
Zitat:
Original von Dennis2010
Für die Umkehrfunktion - ich weiß es nicht... - gilt dann vermutlich:
?

Ist das stetig?


Nein, es ist die Abbildung [achte auf den Definitionsbereich !!] definiert durch .

[quote]

Okay und das ist stetig.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Okay, Du nimmst nichts an, aber beabsichtigt wird zu zeigen, dass es ein Urbild gibt, so korrekt?


Ja, natürlich, das ist schliesslich die Definition von Surjektivität.

Zitat:
Original von Dennis2010
Hm, wie soll ich denn das näher begründen:
Das ist doch so, weil die Funktion so definiert ist - würde ich sagen.
Die zweite Koordinate ist doch die erste Koordinate zum Quadrat.
Die dritte Koordinate ist die erste Koordinate hoch drei.


Quatsch.
Es geht darum dass du einen Punkt hast. Aus dieser Tatsache kannst du folgern, dass dann und gilt.
Wie oben schonmal erwähnt, spiele mit und .


Zitat:
Original von Dennis2010
Okay und das ist stetig.


Ja. Und wieso?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Zitat:
Original von Dennis2010
Hm, wie soll ich denn das näher begründen:
Das ist doch so, weil die Funktion so definiert ist - würde ich sagen.
Die zweite Koordinate ist doch die erste Koordinate zum Quadrat.
Die dritte Koordinate ist die erste Koordinate hoch drei.


Quatsch.
Es geht darum dass du einen Punkt hast. Aus dieser Tatsache kannst du folgern, dass dann und gilt.
Wie oben schonmal erwähnt, spiele mit und .


Vielleicht meinst Du sowas:



Aber es tut mir leid, weiter komme ich da nicht.
verwirrt

Zitat:
Original von system-agent
Zitat:
Original von Dennis2010
Okay und das ist stetig.


Ja. Und wieso?

[/quote]

Weil diese Funktion differenzierbar in x ist?
Oder einfach, weil das eine konstante Funktion ist?
unglücklich



Edit: Global steht doch in der Aufgabenstellen nur, weil hier der Definitionsbereich von ganz ist und nicht nur eine offene Menge davon?
Das heißt, da muss ich nichts mehr speziell jetzt zeigen zum Stichpunkt global - oder?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Vielleicht meinst Du sowas:




Du könntest zb. die erste Gleichung nach lösen und das dann in die zweite einsetzen.

Zitat:
Original von Dennis2010
Weil diese Funktion differenzierbar in x ist?
unglücklich


Ja. Soll ich jetzt auch noch fragen wieso sie differenzierbar ist oder ist es für dich sonnenklar?


Zitat:
Original von Dennis2010
Edit: Global steht doch in der Aufgabenstellen nur, weil hier der Definitionsbereich von ganz ist und nicht nur eine offene Menge davon?
Das heißt, da muss ich nichts mehr speziell jetzt zeigen zum Stichpunkt global - oder?


Ich weiss nicht wirklich was du damit meinst.
Eine Karte heisst eine globale Karte, wenn es eine Karte für die ganze UMF ist. Wie ich dir schonmal gesagt habe kann man zb. für den Kreis oder die Sphäre keine globale Karte angeben, man braucht mehrere lokale.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von system-agent
Zitat:
Original von Dennis2010
Vielleicht meinst Du sowas:




Du könntest zb. die erste Gleichung nach lösen und das dann in die zweite einsetzen.


Okay.
Dies eingesetzt in die zweite Gleichung und umgestellt auf liefert dann u.a. .

Zitat:
Original von system-agent
Zitat:
Original von Dennis2010
Weil diese Funktion differenzierbar in x ist?
unglücklich


Ja. Soll ich jetzt auch noch fragen wieso sie differenzierbar ist oder ist es für dich sonnenklar?


Wie Du schon sicher gemerkt hast, bin ich nicht gut in Mathe, daher ist es mir nicht sonnenklar.
Ich weiß auch nicht, wiesoi es differenzierbar ist. Es ist eine konstante Funktion und als solche kann man sie differenzieren. Das wäre meine bescheidene Erklärung.

Zitat:
Original von system-agent
Zitat:
Original von Dennis2010
Edit: Global steht doch in der Aufgabenstellen nur, weil hier der Definitionsbereich von ganz ist und nicht nur eine offene Menge davon?
Das heißt, da muss ich nichts mehr speziell jetzt zeigen zum Stichpunkt global - oder?


Ich weiss nicht wirklich was du damit meinst.
Eine Karte heisst eine globale Karte, wenn es eine Karte für die ganze UMF ist. Wie ich dir schonmal gesagt habe kann man zb. für den Kreis oder die Sphäre keine globale Karte angeben, man braucht mehrere lokale.


Ist denn dies hier der Fall, dass für die ganze UMF Karte ist?
Ist mir irgendwie nicht klar.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Okay.
Dies eingesetzt in die zweite Gleichung und umgestellt auf liefert dann u.a. .


Ja, genau das liefert sie. Und das kann man nun wiederum in die erste Gleichung einsetzen und du findest .

Das heisst jeder Punkt in ist "eigentlich" schon durch die Angabe von bestimmt - nichts anderes sagt die Parameterdarstellung.


Zitat:
Original von Dennis2010
Wie Du schon sicher gemerkt hast, bin ich nicht gut in Mathe, daher ist es mir nicht sonnenklar.
Ich weiß auch nicht, wiesoi es differenzierbar ist. Es ist eine konstante Funktion und als solche kann man sie differenzieren. Das wäre meine bescheidene Erklärung.


Soso, konstant. Dann berechnen wir mal schnell zwei Funktionswerte:
und .
Also eher doch nicht konstant. Trotzdem ist diese Funktion auf ganz definiert und differenzierbar.
Das kann man mit der Dreigliedentwicklung einsehen, also der Definition der Differenzierbarkeit. Siehe zb. hier.


Zitat:
Original von Dennis2010
Ist denn dies hier der Fall, dass für die ganze UMF Karte ist?
Ist mir irgendwie nicht klar.


Ja, das hast du gerade bewiesen: ist surjektiv.
Eine Karte ist eine globale Karte, wenn sie für die ganze UMF gültig ist. Ansonsten halt nur für einen Teil der UMF, sprich dann ist sie lokal.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das bedeutet:

ist Karte, weil alle dafür notwendigen Dinge erfüllt sind.

Nun ist ja und C ist ja Teilmenge von .


Das bedeutet doch, dass alles Gezeigte auch für C gilt.

Habe ich das nun richtig verstanden?


Edit:

Ich merke selbst, dass es Quatsch ist.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht nochmal die grundsätzliche Frage:

Eine globale Parameterdarstellung ist also definiert als:

Homöomorphismus,

wobei M UMF der Dimension k, , Immersion?



Wohingegen eine lokale Parameterdarstellung definiert ist als:

Homöomorphismus,

ansonsten alles wie oben, V offene Umgebung

??? [Habe ich den Unterschied richtig verstanden?] ???
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde das alles nochmal im Ganzen formulieren und dann das Endergebnis hier posten.

Zunächst habe ich aber noch eine andere Frage:

Diese Lösung habe ich im Internet gefunden.

Ich erkenne darin natürlich Einiges wieder, was ich selbst oben auch versucht habe. Aber der Nachweis der Homöomorphismus-Eigenschaften ist hier doch irgendwie sehr versteckt enthalten oder? Jedenfalls erkenne ich ihn nicht. Wo wird gezeigt, dass Bijektivität und Stetigkeit der Abbildung (und Umkehrabbildung) vorliegt? Oder wird das gar nicht erwähnt, weil das aus dem, was da gezeigt wird, folgt? Wenn ja, sehe ich nicht, wie die Eigenschaften daraus schon folgen.

Zitat:

Wir definieren .

" ": Gilt, da .

" ": Es ist 3 f(x,y,z)-g(x,y,z)=x^2-y [/latex] und . Für jeden Punkt gilt also . Der Punkt hat also die Gestalt . Das bedeutet, er liegt in .

Insgesamt gilt also: .

[...]




Das soll schon alles gewesen sein zum Beweis, dass es sich um eine globale Parameterdarstellung handelt?

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand erklären könnte, inwiefern hier bereits alles gezeigt ist. Ich denke mal, dass diese Lösung korrekt ist und ich nur die Folgerungen nicht erkenne.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Hier wurde einfach gezeigt, dass die beiden Mengen dasselbe sind und das sagt, dass man deine Menge entweder als die Nullstellenmenge von und ansehen kann oder als das Bild der Abbildung .

Natürlich zeigt das ganz strenggenommen noch nicht, dass ein Homöomorphismus ist. Aber wie schon erwähnt, dass die Abbildung differenzierbar und injektiv ist ist trivial. Dass sie surjektiv ist, ist mit "" natürlich auch gezeigt.

Man muss also schon noch zeigen, dass die Umkehrabbildung stetig ist.
Natürlich, wie ich oben auch schon erwähnt habe, aus der ganzen Rechnerei folgt natürlich insbesondere, dass die Umkehrabbildung sein muss - und das ist differenzierbar, also stetig.
Das hätte man in dem was du im Internet gefunden hast schon noch erwähnen können.

Dass die Karte global ist, ist wegen der Surjektivität klar.

Aus Neugier: Wo hast du das denn gefunden?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich hier gefunden [Seite 2]:
http://www.iazd.uni-hannover.de/~soriano/FT1011Ana2H3L.pdf
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir nochmal jemand erklären, warum man bei der Charakterisierung einer Untermannigfaltigkeit M als Nullstellengebilde diese ganze Geschichte mit der Umgebung U macht?

[Also ich meine ]
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Damit man nicht Funktionen braucht, die die ganze Mannigfaltigkeit als Nullstellen haben.
Sprich man fordert in der Definition, dass es pro Punkt gewisse Funktionen geben muss die die Mannigfaltigkeit lokal durch ihr Nullstellengebilde beschreiben.
Das heisst ein anderer Punkt hat wahrscheinlich auch andere Funktionen die das tun.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das Beispiel hier war doch aber eine Aufgabe, wo die Funktionen die ganzeUntermannigfaltigkeit als Nullstellen haben - oder?

Du hattest auch schon mal geschrieben, dass die Umgebung irgendwie mit der Differenzierbarkeit zusammenhängt, wie war das gemeint?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Das Beispiel hier war doch aber eine Aufgabe, wo die Funktionen die ganzeUntermannigfaltigkeit als Nullstellen haben - oder?


Natürlich, denn die fragliche Menge war doch schliesslich schon als Nullstellengebilde von Funktionen definiert.

Zitat:
Original von Dennis2010
Du hattest auch schon mal geschrieben, dass die Umgebung irgendwie mit der Differenzierbarkeit zusammenhängt, wie war das gemeint?


Nimm zb. die reelle Gerade in der Ebene und eine Funktion die auf definiert und differenzierbar ist. Betrachte nun die Einschränkung dieser Funktion nur auf die reelle Gerade. Diese Einschränkung ist plötzlich nicht mehr differenzierbar als eine Funktion von zwei Variablen, denn damit eine Funktion differenzierbar sein kann, muss sie auf einer offenen Menge definiert sein, aber eine Gerade in der Ebene ist keine offene Menge.
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