Unterschied zwischen Abbildungen, Relationen und Funktionen

07.04.2011, 15:58

stud3nt

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Unterschied zwischen Abbildungen, Relationen und Funktionen

Meine Frage:
Was ist genau der Unterschied zwischen Abbildungen, Relationen und Funktionen.
5c = a-b. Ich muss beweisen, dass das eine Aquivalenzrelation ist. Aber ich weiss nicht wie ich das machen soll.

Meine Ideen:
Ich weiss zwar, dass eine Aquivalenzrelation reflexiv, symmetrisch und transitiv sein muss. Aber was mich VÖLLIG überfordert ist, dass da DREI variablen sind. WIe soll den a,b,c irgendwie reflexiv sein. Nicht mal für die Transitivität gibt es da einen Sinn.

07.04.2011, 16:02

klarsoweit

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RE: Unterschied zwischen Abbildungen, Relationen und Funktionen
Am besten postest du mal die komplette Aufgabe im originalen Wortlaut. So muß man immer rumraten, was da gemeint ist.

07.04.2011, 16:19

stud3nt

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Definiert sei eine Relation $\begin{eqnarray*} R\subset \mathbb Z x\mathbb Z \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} R :={(a,b)\in \mathbb Z x\mathbb Z :\exists c\in \mathbb Z :5c =a-b} \end{eqnarray*}$ }

Zeigen Sie, dass es sich hierbei um eine Äquivalenzrelation handelt.

So, das ist nun die Aufgabe. Aber ich wäre euh dankbar, wenn ihr mir nicht nur die Lösung präsentieren würdet, sondern auch z.B. erklärt warum das und nicht so gelöst wird.

MfG

07.04.2011, 16:47

terri

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Also, ich bin absolut kein Profi auf diesem Gebiet, aber offensichtlich gehören alle Paare (a,b) zur Relation, deren Differenz a-b ohne Rest durch 5 Teilbar ist.

Vielleicht hilft dir diese "Übersetzung" schon einen Schritt weiter?

07.04.2011, 17:00

tigerbine

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Wir können uns das hier sogar auf kariertem Papier vorstellen. Wir haben mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \times \mathbb Z \end{eqnarray*}$ die Knotenpunkte eines ganzzahligen Gitters. [kartesisches Produkt] (1,1), (-2,-3) etc...

Was ist nun eine Relation $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ :
"Eine binäre Relation R ist eine Teilmenge des kartesischen Produkts zweier Mengen A und B"

Wir wählen also bestimmte Punkte aus, die Packen wir in R rein. Aber das machen wir mit System.

$\begin{eqnarray*} R :=\left\{(a,b)\in \mathbb Z \times\mathbb Z ~|~\exists c\in \mathbb Z :5c =a-b\right\} \end{eqnarray*}$

Gib dir ein a vor. Dann kommen nur bestimmte b in Frage. Kannst du da zu a=4 ein paar Beispiele nennen?

Die nächte Frage ist nun, ob man über R noch mehr sagen kann. Handelt es sich um eine Äquivalenzrelation? Du kennst die Punkte schon, die du abarbeiten musst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.04.2011, 10:32

stud3nt

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OK!
z.B. (10,10)
10 - 10 = 0.... passt $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ reflexiv

z.B. (10, 5) und (5, 10)
10 - 5 = 5
5 - 10 = -5
es sind ja BEIDE Ergebnisse durch 5 teilbar. Ist damit die Symmetrie gezeigt? Oder müssen beide Ergebnisse GLEICH sein?

ABER wie zeigt man hier TRANSITIVITÄT?????

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08.04.2011, 10:42

stud3nt

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Und kann mir bitte jemand noch den Unterschied bitte erklären,
WAS genau eine Relation, eine Funktion und eine Abbildung unterscheidet!
Oder ein Link der das gut beschreibt. Hab schon gegoogelt, aber leider nix brauchbares gefunden unglücklich

unglücklich

08.04.2011, 10:51

tigerbine

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Zitat:

Formale Definition

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} R \subseteq M \times M \end{eqnarray*}$ , welche folgende Bedingungen erfüllt:

Reflexivität: Für alle $\begin{eqnarray*} a\in M \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (a,a)\in R \end{eqnarray*}$ .
Symmetrie: Für alle $\begin{eqnarray*} a,b\in M \end{eqnarray*}$ , für die $\begin{eqnarray*} (a,b)\in R \end{eqnarray*}$ gilt, ist auch $\begin{eqnarray*} (b,a) \in R \end{eqnarray*}$ .
Transitivität: Für alle $\begin{eqnarray*} a,b,c \in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (a,b) \in R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b,c) \in R \end{eqnarray*}$ gilt, dass auch $\begin{eqnarray*} (a,c) \in R \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} R :=\left\{(a,b)\in \mathbb Z \times\mathbb Z ~|~\exists c\in \mathbb Z :5c =a-b\right\} \end{eqnarray*}$

Du musst das schon allgemein zeigen und nicht an Beispielen.

Sei a aus Z. Dann gilt für (a,a): a-a=0=0*5. Es gibt also ein gefordertes c aus Z.

Sei (a,b) in R, dann gibt es ein c mit 5c=a-b. Damit folgt 5(-c)=b-a und damit (b,a) in R [Es muss nur einen Faktor c geben, nicht den gleichen].

Seien (a,b) und (b,c) in R. Dann gibt es s und t mit 5s=a-b und 5t=b-c. Es folgt für a-c?

08.04.2011, 10:59

stud3nt

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Vielen Dank tigerbine! Dieser Satz:

Zitat:

Sei (a,b) in R, dann gibt es ein c mit 5c=a-b. Damit folgt 5(-c)=b-a und damit (b,a) in R [Es muss nur einen Faktor c geben, nicht den gleichen].

macht jetzt einiges klar. Freude

Freude

08.04.2011, 14:07

stud3nt

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Es folgt für a-c: (5s + b) - (5t - b) = 5u

ist das richtig??!!

08.04.2011, 14:11

klarsoweit

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Nein. Du hast dich mit dem Ersetzen von c vertan.

08.04.2011, 14:15

stud3nt

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AAA!!! OK!
Es folgt für a-c: (5s + b) - (-5t + b) = 5u!!!
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ 5s + 5t = 5u! DAs heisst in Worten Mehrfaches von 5 plus(Edit: sorry soll natürlich MINUS heissen) Mehrfaches von 5 AUCH Mehrfaches von 5. Ist das so richtig?
Jetzt aber!

08.04.2011, 14:38

stud3nt

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Oder müsste DOCH PLUS sein. Sry. Bin ganz verwirrt also5s + 5t = 5u

08.04.2011, 14:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von stud3nt
DAs heisst in Worten Mehrfaches von 5 plus(Edit: sorry soll natürlich MINUS heissen) Mehrfaches von 5 AUCH Mehrfaches von 5. Ist das so richtig?

An der Uni sollte man sich schon klar ausdrücken können:
Wenn (a,b) und (b,c) in R sind, dann ist auch (a,c) in R, da a - c ein ganzzahliges Vielfaches von 5 ist.

08.04.2011, 14:45

stud3nt

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Warum pflückst du den Satz auseinander. Im ganzen ist er doch verstädllich!

DAs heisst in Worten Mehrfaches von 5 plus(Edit: sorry soll natürlich MINUS heissen) Mehrfaches von 5 "IST" AUCH Mehrfaches von 5.

08.04.2011, 14:50

klarsoweit

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Ich hab's verbessert. Das war im Grunde nicht zu zeigen, sondern die Transitivität. Deswegen sollte ein passender Satz dieses begründen.

08.04.2011, 15:00

stud3nt

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OK! Danke

Augenzwinkern

. Ich glaube ich habs verstanden! Ich werde mich jetzt mal an den anderen Aufgaben versuchen!

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