Aufgabe zu Differenzierbarkeit in R

07.04.2011, 16:03	terri	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zu Differenzierbarkeit in R Hi, neues Semester, neue Aufgaben! Sei f eine Funktion von R nach R a) Sei f in $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \end{eqnarray}$ differenzierbar. Zeigen Sie, dass dann der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} \end{eqnarray}$ existiert, und berechnen Sie ihn. b) Folgt aus der Existenz des Grenzwertes in (a) die Differenzierbarkeit von f in a? Beweisen sie ihre Aussage. Meine Ideen zu a) Ich denke hier schon die Lösung zu haben: $\begin{eqnarray} \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)+f(a)-f(a)-f(a-h)}{2h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{2h}+\lim_{h \to 0}\frac{f(a)-f(a-h)}{2h} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 0,5 f'(a) + 0,5 f'(a) = f'(a) \end{eqnarray}$ Hier bin ich mir im vorletzten Schritt nicht ganz sicher, ob das so geht. zu b) Also ich bin der Meinung das die Existenz der Grenzwertes NICHT hinreichend für die Differenzierbarkeit ist. Ich würde eine Gegenbeispiel angeben, eine Funktion die überall Null ist, außer an der Stelle a, dort ist sie 1 (oder 42, was auch immer). Die Funktion wäre ja offensichtlich an der Stelle a nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar. Die Frage ist, ob an dieser Stelle der Grenzwert überhaupt existiert - ich denke ja, würde aber lieber eine zweite Meinung hören. Danke schonmal
07.04.2011, 18:58	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgabe zu Differenzierbarkeit in R Das ist schon gut was du getan hast. Damit du den letzten Schritt besser begründen kannst nutze die folgende Darstellung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f(a+h)=f(a)+hf'(a)+\text{Rest}(h) \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} f(a-h)=f(a)-hf'(a)+\text{Rest}(-h) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \text{Rest} \end{eqnarray}$ eine Funktion ist, die in der Nähe von Null definiert und stetig ist und es gilt $\begin{eqnarray} \lim_{h\to0}\frac{\text{Rest(h)}}{h}=0 \end{eqnarray}$ [das folgt alles aus der Differenzierbarkeit von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ ]. Dein Gegenbeispiel zu (b) ist auch OK. Die Existenz des Grenzwertes solltest du sehr schnell beweisen können: welchen Wert hat denn $\begin{eqnarray} f(a+h) \end{eqnarray}$ bzw $\begin{eqnarray} f(a-h) \end{eqnarray}$ ? Beachte: $\begin{eqnarray} h\neq0 \end{eqnarray}$ !!
07.04.2011, 21:06	terri	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Tipp, da hätte ich fast noch selbst drauf kommen können, besonders da wir diese Definition der Ableitung in der Vorlesung hatten ... aber wie das immer so ist, wenn es geht nimmt man doch lieber als alt Bekannte.

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