tanh(x) integrieren

Neue Frage »

07.04.2011, 16:36	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
tanh(x) integrieren Meine Frage: hallo ich sitze hier an folgendem integral was ich einfach nicht hinkriege $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! tanh(x) \, dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: ich weis das folgende definition gilt ich denke die muss man auch einsetzen um weiter zu kommen aber weiter weis ich nich $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! tanh(x) \, dx = \int_0^1 \! \frac{sinh(x)}{cosh(x)} \, dx \end{eqnarray}$ kann mir da vllt einer helfen ??
07.04.2011, 16:40	terri	Auf diesen Beitrag antworten »
Die hyperbolischen Funktionen sind doch über e-funktionen definiert. Wenn du die nicht einsetzt, kann es ja gar nichts werden ...
07.04.2011, 16:43	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
oki kann ich machen aber das hab ich schon versucht und kam auch nich weiter $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \frac{sinh(x)}{cosh(x)} \, dx = \int_0^1 \! \frac{e^{x} -e^{-x} }{e^{x} +e^{-x} } \, dx \end{eqnarray}$
07.04.2011, 16:44	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Wissen, dass $\begin{eqnarray} \frac{\dd}{\dd x} \cosh(x) = \sinh(x) \end{eqnarray}$ ist, muss man gar nicht mit den e-Funktionen rumfummeln, sondern erkennt sofort eine passende Substitution. Edit: Na gut, da du das jetzt schon gemacht hast, leite mal den Nenner ab und schau mal scharf hin.
07.04.2011, 16:54	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
da hab ich auch schon dran gedacht aber ich weis nich ob dann fall a oder b entsteht $\begin{eqnarray} cosh(x) \end{eqnarray}$ sei nun $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ fall a : $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \frac{sinh(x)}{cosh(x)} \, dx = \int_0^1 \! \frac{sinh(x)}{a} sinh(x)\, dx \end{eqnarray}$ das wäre einfach wenn man es rauskürzen kann und ich hätte den $\begin{eqnarray} ln \end{eqnarray}$ als stammfkt fall b: $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \frac{sinh(x)}{cosh(x)} \, dx = \int_0^1 \! \frac{sinh(x)}{a} \frac{1}{sinh(x)}\, dx \end{eqnarray}$ weil der $\begin{eqnarray} cosh(x) \end{eqnarray}$ is ja im nenner das hat mich verunsichert kannst du mir da helfen ??
07.04.2011, 16:59	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Formal ist das eine Katastrophe, wenn es sich um ein bestimmtes Integral handelt, sind die Grenzen mitzusubstutieren oder vorher rauszunehmen, dann integriert man unbestimmt und nimmt die Grenzen nach der Rücksubstitution wieder dazu. Und in den neuen Integral steht nach wie vor überall dx, aber wir führen doch eine neue Variable ein, dementsprechend ist das dx durch da passend zu ersetzen. Integration durch Substitution $\begin{eqnarray} a = \cosh(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\dd a}{\dx} = \, ... \end{eqnarray}$ Dann ersetzen.
Anzeige

07.04.2011, 17:07	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
also wenn ich das soweit richtig verstehe funktioniert das so $\begin{eqnarray} cosh(x)=a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! \frac{sinh(x)}{cosh(x)} \, dx = \int_v^z \! \frac{sinh(x)}{a}sinh(x) \, da \end{eqnarray}$ mit den grenzen $\begin{eqnarray} \frac{da}{dx}=sinh(x) <=> da = dx sinh(x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=cosh(0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z=cosh(1) \end{eqnarray}$ richtig ??
07.04.2011, 17:15	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
In der ersten Zeile setzt du sinh(x)da=dx in das Integral ein und in der zweiten Zeile schreibst du dann sinh(x)dx=da. Da musst du dich schon entscheiden (richtig ist letzteres). Das mit den Grenzen stimmt so. Nur stehen im Integral nun v und z und unten taucht plötzlich ein w auf.
07.04.2011, 17:19	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
ich find den fehler in der ersten zeile nich was meinst du da ??
07.04.2011, 17:20	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
wie würdest du das aufschreiben ??
07.04.2011, 17:20	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
So steht da im Integral doch sinh(x)*sinh(x).
07.04.2011, 17:24	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
ja aber das is doch nach der substitutionsformel so oder nicht ?? die heißt doch integral von f(g(x)) * g'(x) deshalb dachte ich das muss da noch hin
07.04.2011, 17:27	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Güte, du hast es doch alles schon da stehen: $\begin{eqnarray} \dd a = \sinh(x) \dd x \ \ \Rightarrow \ \ \dd x = \frac{1}{\sinh(x)} \dd a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} \, \dd x \ \ \Rightarrow \ \ \int \frac{\sinh(x)}{a} \frac{1}{\sinh(x)} \, \dd a = \int \frac 1 a \, \dd a \end{eqnarray}$
07.04.2011, 17:30	El Rey	Auf diesen Beitrag antworten »
ich danke dir
07.04.2011, 17:32	Manni Feinbein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Stichwort lautet: Logarithmische Integration $\begin{eqnarray} \int \frac{f'(x)}{f(x)} \mathrm{d}x = \ln\|f(x)\| + C \quad \left (f(x) \neq 0 \right) \end{eqnarray}$

Neue Frage »

Antworten »

tanh(x) integrieren

Verwandte Themen