Anzahl von Links- und Rechtsnebenklassen einer Gruppe ist gleich

07.04.2011, 17:19

Zitrone21

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Anzahl von Links- und Rechtsnebenklassen einer Gruppe ist gleich

Hallo.
Ich hänge bei dieser Algebraaufgabe fest:

Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} H \subseteq G \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe.
Zeigen Sie, dass die Anzahl der Linksnebenklassen von H in G mit der Anzahl der Rechtsnebenklassen von H in G übereinstimmt.
Dabei ist für $\begin{eqnarray*} x \in G \end{eqnarray*}$ die zugehörige Rechtsnebenklasse definiert als $\begin{eqnarray*} Hx := \{ hx | h \in H \} \end{eqnarray*}$
Hinweis: Verwenden Sie die Abbildung $\begin{eqnarray*} a \mapsto a^{-1} \end{eqnarray*}$ , um eine Bijektion zwischen der Menge der Linksnebenklassen und der Menge der Rechtsnebenklassen anzugeben.

Ich hab im Grunde verstanden was Nebenklassen sind.
So kann ich z.B. $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z},+) \end{eqnarray*}$ als additive Gruppe nehmen. $\begin{eqnarray*} (2*\mathbb{Z},+) \end{eqnarray*}$ (Menge der geraden Zahlen) wäre nun eine Untergruppe davon, und $\begin{eqnarray*} 2*\mathbb{Z} + 1 \end{eqnarray*}$ eine Links- und eine Rechtsnebenklasse, da hier die zugrunde liegende Gruppe kommutativ ist.
Bei der o.g. Aufgabe ist dies ja nicht zwingend der Fall.

Meine Ansatz:
Definition Linksnebenklasse: $\begin{eqnarray*} Hx := \{ xh | h \in H \} \end{eqnarray*}$
Definition Rechtsnebenklasse: $\begin{eqnarray*} Hx := \{ hx | h \in H \} \end{eqnarray*}$

Der Einfachheit halber werde ich die Mengen der Nebenklassen nun mal benennen:
$\begin{eqnarray*} A := \{ xH | \end{eqnarray*}$ xH ist Linksnebenklasse von H in G $\begin{eqnarray*} \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B := \{ Hx | \end{eqnarray*}$ Hx ist Rechtsnebenklasse von H in G $\begin{eqnarray*} \} \end{eqnarray*}$

Um zu zeigen, dass das $\begin{eqnarray*} |A| = |B| \end{eqnarray*}$ , kann ich z.b. zeigen, dass es zwischen A und B eine Bijektion gibt.

Nur irgendwie kann ich mir die Abbildung zwischen den Nebenklassen nicht vorstellen. Ich versuche immer das auf mein oben genanntes Beispiel mit den geraden / ungeraden Zahlen zu übertragen, aber kann mir trotzdem nicht vorstellen, wie ich Abbildungen zwischen Nebenklassen habe, geschweige denn, wie ich den Hinweis in der Aufgabe verwenden soll.
Kann mir da jemand Hilfestellung geben?

07.04.2011, 17:42

tmo

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Du solltest mal näher am Hinweis arbeiten.

Schließlich gilt ja: $\begin{eqnarray*} xH=yH \Longleftrightarrow x^{-1}y \in H \end{eqnarray*}$ .

Für Rechtsnebenklassen gilt jedoch: $\begin{eqnarray*} Hx=Hy \Longleftrightarrow xy^{-1} \in H \end{eqnarray*}$ .

Wenn wir nunmal bei letzterer Äquivalenz x und y durch ihre Inverse ersetzen, können wir den Gedanken fortführen:

$\begin{eqnarray*} Hx^{-1}=Hy^{-1} \Longleftrightarrow x^{-1}(y^{-1})^{-1} \in H \Longleftrightarrow x^{-1}y \in H \Longleftrightarrow xH=yH \end{eqnarray*}$

Diese Äquivalenz liefert sofort Wohldefiniertheit und Injektivität der Abbildung $\begin{eqnarray*} xH \mapsto Hx^{-1} \end{eqnarray*}$

07.04.2011, 17:45

tigerbine

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RE: Anzahl von Links- und Rechtsnebenklassen einer Gruppe ist gleich
Sei H eine Untergruppe von G. Was weißt du dann denn über die Menge der Linksnebenklassen? Was machen die mit G? Welche "Regeln" kennst du denn für Linksnebenklassen? Also woher weiß ich zum Beispiel, ob aH=bH gilt.

Analoges gilt für Rechtsnebenklassen.

Zitat:

Verwenden Sie die Abbildung $\begin{eqnarray*} a \mapsto a^{-1} \end{eqnarray*}$ , um eine Bijektion zwischen der Menge der Linksnebenklassen und der Menge der Rechtsnebenklassen anzugeben.

Man muss versuchen, sich eine Bijektion zu bauen. Nicht jedes H ist Normalteiler, also eine direkte Identifizierung aH=Ha wird nicht klappen. Du kannst mal überlegen, ob wenigstens |aH|=|Ha| gilt.

Was vermutest du - nach dem Tipp wird das Bild von aH unter der gesuchten Bijektion sein?

edit: zu spät. in tmos post findest du die Antworten auf meine Fragen.

08.04.2011, 10:32

Zitrone21

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Also ich weiß das (Links-)Nebenklassen entweder disjunkt oder gleich sind. Ebenso weiß ich, das die Vereinigung aller (Links-)Nebenklasse der Untergruppe die Gruppe selbst ergeben.

$\begin{eqnarray*} H \subseteq G \end{eqnarray*}$ . Darüber hinaus haben wir die Anzahl der verschiedenen Linksnebenklassen von H als Index von H in G bezeichnet.
Dann haben wir noch kurz als Satz von Lagrange notiert:
$\begin{eqnarray*} |G| = |H| [G:H] \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{|G|}{|H|} = [G:H] \end{eqnarray*}$

@tmo:
Die ersten beiden Aussagen von dir habe ich bisher noch nicht gesehen. Unter http://www.mathepedia.de/Nebenklassen.aspx finde ich auch, zwar mit Beweis, aber ich bin wohl grad nicht auf geistlicher Höhe.

Vermutlich habe ich da immer noch Vorstellungsprobleme.
Irgendwie verstehe ich auch noch nicht, was du da gemacht hast.
Setzt du jetz einfach voraus, das ich jetzt solch eine Abbildung zwischen einer Linksnebenklasse und der vom gleichen Repräsentanten bezeichneten Rechtsnebenklasse?
Also das hier: $\begin{eqnarray*} xH \mapsto Hx^{-1} \end{eqnarray*}$
Hierfür würde ich dann mit den von dir genannten Eigenschaften von Links- bzw. Rechtsnebenklassen die Injektivität und Surjektivität zeigen. (Naja, zumindest versuchen Big Laugh

Big Laugh

)

Kann ich denn davon ausgehen, das die Repräsentanten gleich sind? Nur weil es eine Linksnebenklasse aH gibt, muss es doch nicht eine Rechtsnebenklasse Ha geben. Oder sehe ich das falsch?

08.04.2011, 10:46

tigerbine

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Zitat:

Nur weil es eine Linksnebenklasse aH gibt, muss es doch nicht eine Rechtsnebenklasse Ha geben. Oder sehe ich das falsch?

Warum soll es Ha nicht geben? Was nicht gesagt ist, dass jede Linksnebenklasse auch eine Rechtsnebenklasse ist Beispiel. Genauso wenig wie aH=Ha im allgemeinen gelten muss.

08.04.2011, 11:00

Zitrone21

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Zitat:

Was nicht gesagt ist, dass jede Linksnebenklasse auch eine Rechtsnebenklasse ist

Ja genau, das hatte ich nämlich auch im Kopf.

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Nur weil es eine Linksnebenklasse aH gibt, muss es doch nicht eine Rechtsnebenklasse Ha geben. Oder sehe ich das falsch?

Warum soll es Ha nicht geben?

Weil ich davon ausgegangen bin, das ich hier nur auf Kommutativität in der Gruppe schließen kann. Aber scheinbar hat das eine nichts mit dem anderen zu tun.

D.h. ich soll nun davon ausgehen, das die Repräsentanten der Links- und Rechtsnebenklassen gleich sind.

Ist denn $\begin{eqnarray*} xH \mapsto Hx^{-1} \end{eqnarray*}$ überhaupt die Abbildung die ich hier benutzen soll?

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08.04.2011, 11:08

tigerbine

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Ja, die sollst du benutzen. Lies mal von oben nach unten, links nach rechts. Dabei benutzt du Wissen über Nebenklassen.

Zitat:

Original von tmo
Du solltest mal näher am Hinweis arbeiten.

Schließlich gilt ja: $\begin{eqnarray*} xH=yH \Longleftrightarrow x^{-1}y \in H \end{eqnarray*}$ .

Für Rechtsnebenklassen gilt jedoch: $\begin{eqnarray*} Hx=Hy \Longleftrightarrow xy^{-1} \in H \end{eqnarray*}$ .

Nun wirklich von links nach rechts lesen. Das sollte dir dann alles klar sein.

Zitat:

Wenn wir nunmal bei letzterer Äquivalenz x und y durch ihre Inverse ersetzen, können wir den Gedanken fortführen:

$\begin{eqnarray*} Hx^{-1}=Hy^{-1} \Longleftrightarrow x^{-1}(y^{-1})^{-1} \in H \Longleftrightarrow x^{-1}y \in H \Longleftrightarrow xH=yH \end{eqnarray*}$

So, nun diese Zeile mal in Bezug auf die gegebene Abbildung lesen. Was steht da denn.... Die Bilder sind genau dann gleich, wenn... [Links nach rechts] Das ist die Injektivität. Und von rechts nach Links sagt das ganze: Die Funktion ist wohldefiniert, unabhängig von der Wahl des Repräsentanten.

Zitat:

Diese Äquivalenz liefert sofort Wohldefiniertheit und Injektivität der Abbildung $\begin{eqnarray*} xH \mapsto Hx^{-1} \end{eqnarray*}$

Fehlt nur noch die Surjektivität. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.04.2011, 11:42

Zitrone21

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Alles klar, vielen dank euch beiden schon mal. =)

Ich werde mich nachher wieder an die Aufgabe setzen können und dann vermutlich auch wieder zurückmelden Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.04.2011, 22:36

tobisemseg

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hey,sitze ebenfalls an dieser aufgabe, was ich nicht ganz verstanden habe man hat ja die Abbildung phi:{xh|h€H} --> {hx^-1|h€H}, warum nimmt man für die Injektivität hx^-1 und hy^-1 , für mich würde das eher sinn machen dass x^-1 fest ist und man dann zb hx^-1 und gx^-1 aus dem Bild wählt?lg tobi

11.04.2011, 22:38

tigerbine

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Die Untergruppe H ist doch fest.... verwirrt

verwirrt

12.04.2011, 22:38

tobisemseg

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ja sorry stimmt.. aber bei der Injektiviät muss ich ja zeigen phi(x)=phi(y) => x=y ..aber Hx^-1 ist doch kein element sondern eine menge oder nicht? wenn ich ein element aus dem zielbereich auswähle hat es doch de form 'klein' hx^-1 oder nicht? also für
surjektivität müsste ich zeigen: für alle hx^-1 ex. ein xh mit Phi(xh)=hx^-1? danke

12.04.2011, 22:42

tigerbine

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Zitat:

Hx^-1 ist doch kein element sondern eine menge oder nicht?

Das ist eine Frage des Blickwinkels. Auf der Menge der Nebenklassen ist es ein Element.

12.04.2011, 23:08

tobisemseg

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ja richtig wir betrachten ja die menge aller nebenklassen und nicht die elemente einer einzigen nebenklasse..sorry jetzt hab ichs Big Laugh

Big Laugh

für surjektivität : zu Hx^-1 ex. ein xH mit phi(xH)=Hx^-1 .. was muss ich denn da jetzt noch beweisen ich finde das irgendwie trivial..bei surjektivität hab ich immer so meine probleme..ich wäre sonst über nen tipp sehr dankbar smile

smile

lg

12.04.2011, 23:14

tigerbine

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Injektiv und Wohldefiniertheit steht oben. Was betrachten wir:

$\begin{eqnarray*} \phi: G/U \to G\setminus U,~xH \mapsto Hx^{-1} \end{eqnarray*}$

Wo, wenn $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ surjektiv ist, dann gib mir doch mal zu jeder Rechtsnebenklassen $\begin{eqnarray*} Hx \end{eqnarray*}$ das Urbild an...

12.04.2011, 23:20

tobisemseg

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x^(-1)H ?

12.04.2011, 23:31

tigerbine

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Freude

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