Extrema beweis mit ZWS oder doch MWS ?

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07.04.2011, 18:35	DonQuijote	Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema beweis mit ZWS oder doch MWS ? Hallo zusammen, ich habe mir gerade ein Protokoll durchgelesen wo jemand behauptete dass man falls die erste Ableitung schwierig nach x aufzulösen wäre. Man es auch mit dem Zwischenwertsatz herausbekommen könnte wo diese 0 wird. Meiner Meinung nach würde aber hier eher der Mittelwertsatz greifen oder lieg ich falsch ? Bitte um Hilfe Grüße
07.04.2011, 18:48	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Weder Mittelwertsatz noch Zwischenwertsatz lassen meiner Meinung nach eine exakte Aussage über das "wo" zu. Mit dem Satz von Rolle, der ja eng mit dem ZWS zusammenhängt, kann man aber immerhin ein Intervall angeben
08.04.2011, 11:18	DonQuijote	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok also ich kann also mit dem ZWS, also Satz von Rolle wenigstens angeben dass es mindestens eine Extremstelle gibt oder ? Ich habe euch mal die Aufgabe aufgeschrieben. Auf Stetigkeit wurde die Funktion schon überprüft, ebenfalls auf diffbarkeit. Jetzt sollte ich die Extremstellen suchen. Klar dass ich dann die erste Ableitung bilde. Nur was mache ich wenn die Ableitung so aussieht wie im Anhang ?
08.04.2011, 12:19	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen das passt, weil die Funktion im Punkt x = 0 stetig ist. Also ist die Ableitung richtig
08.04.2011, 12:31	DonQuijote	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ableitung passt klar aber wenn ich diese jetzt nach 0 auflöse um die Extremwerte zu finden, wird es doch ziemlich schwierig. Meine Frage war jetzt wie ich da ran gehen soll bzw. wie ich dann dem Prüfer klar machen soll ob es überhaupt Extremwerte gibt
08.04.2011, 13:11	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal muss ich mich oben korrigieren, Satz von Rolle und MWS gehören zusammen, nicht der ZWS Ohne Hilfsmittel tatsächlich ist die exakte Bestimmung der Extremstellen sehr schwer zu lösen Der ZWS würde nun erlauben zu sagen $\begin{eqnarray} f'(\frac{\pi }{2}) < 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(\frac{3 \pi }{2}) > 0 \end{eqnarray}$ Also hat f' zwischen diesen beiden x-Werten eine Nullstelle
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08.04.2011, 13:13	DonQuijote	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe erstmal aber darf ich fragen wie du darauf kommst. Der ZWS sagt ja aus dass auf einem kompakten Intervall [a,b], die Funktion zwischen f(a) und f(b) jeden Wert annimmt aber wie kommst du nun darauf ?
08.04.2011, 13:22	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Deiner Funktionsvorschrift entnehme ich, dass der Definitionsbereich die Reellen Zahlen sind, als Teilmenge davon also auch jedes kompakte Intervall [a,b] mit a<b und a,b reelle Zahlen Für meine Abschätzungen musste (und habe) ich die genauen Werte gar nicht ausgerechnet Das der Nenner jeweils größer 0 ist dürfte klar sein, zumal für reelle Zahlen alle Quadratzahlen sowieso größer 0 sind. Gewählt habe ich die Werte deshalb, weil der cosinus dafür jeweils 0 wird, also der erste Faktor wegfällt. sinus von pi/2 ist 1, also steht im Zähler 0-1 = -1 Wir teilen was negatives durch was positives, also erhalten wir etwas negatives, <0 Für 3pi/2 nimmt der sinus den Wert -1 an, also steht im Zähler 0-(-1) = 1...
08.04.2011, 13:26	DonQuijote	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhh super vielen Dank
08.04.2011, 14:26	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin gerade nochmal den Thread durchgegangen. Da ich den Satz von Rolle angesprochen habe, bin ich dir da auch noch eine Erklärung schuldig Satz von Rolle: Sei a<b,und $\begin{eqnarray} f:[a,b] -> \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig. Sei f(a) = f(b) und f in (a,b) differenzierbar Dann existiert ein $\begin{eqnarray} x \in (a,b) \ mit f'(x) = 0 \end{eqnarray}$ Nun kann man sagen $\begin{eqnarray} f(\pi) = f(2 \pi) = 0 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} \exists x \in ( \pi , 2 \pi) \ mit f'(\pi) = 0 \end{eqnarray}$ Man muss also nicht mal die Ableitung berechnen um das Intervall angeben zu können Übrigens gilt das natürlich auch für $\begin{eqnarray} - \pi \ und - 2 \pi \end{eqnarray}$
08.04.2011, 15:55	DonQuijote	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine ausführliche Erklärung Kimi
08.04.2011, 16:53	DonQuijote	Auf diesen Beitrag antworten »
Kimi in deinem Beispiel oben hast du auch 3/2 Pi als Wert eingesetzt, ich könnte doch aber auch direkt Pi einsetzen dann wird eben mein sinus zu 0 mein coisnus zu 1 und ich bekomme heraus das zwischen f'(Pi/2) < 0 und f'(Pi) > 0 meine Extremstelle liegen muss oder ?
08.04.2011, 17:09	Kimi_R	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs gerade mal im Kopf nachgerechnet, ist f'(pi) nicht auch <0? Prinzipiell kann man das Intervall wohl genauer angeben, ich habe mir halt Werte ausgesucht die besonders einfach zu rechnen sind Wobei ich ja, kombiniert man meine beiden Ergebnisse, schon das Intervall $\begin{eqnarray} (\pi, 3 \pi/2) \end{eqnarray}$ ermittelt habe
08.04.2011, 17:51	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur mal so am Rande: Die Funktion hat unendlich viele Extremstellen. Also hat die Ableitung unendlich viele Nullstellen. Dass es diese gibt und wo sie etwa liegen, kann man auch so sehen: Nach einer kleinen Umformung ist f' = 0 äquivalent zu $\begin{eqnarray} x=\tan x \end{eqnarray}$ Diese Gleichung hat im Intervall $\begin{eqnarray} (-\pi /2, \pi /2) \end{eqnarray}$ keine Lösung, außer der offensichtlichen x = 0. Das kann man über die Ableitung des Tangens zeigen, die immer > 1 ist außer bei x = 0. In jedem anderen Intervall $\begin{eqnarray} ( (2n-1)\frac{\pi}{2}, (2n+1)\frac{\pi}{2}) \end{eqnarray}$ hat sie genau eine Lösung. Das ergibt sich daraus, dass der Tangens in diesen Intervallen monoton von $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ läuft.
08.04.2011, 18:35	DonQuijote	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt habe nicht bedacht das Pi * cos(Pi) -Pi ergibt,warum auch immer :-) Aber fakt ist nun dass ich mit den Sätzen das Intervall nur ein Grenzen kann, meine Extremstelle also nicht direkt berechnen, danke dafür das hat mir sehr geholfen. Und danke huggy für deine weitere Erläuterung

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