Allgemeine Gleichung für den Schnittpunkt Gerade Kugel

07.04.2011, 18:38	Janchu88	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeine Gleichung für den Schnittpunkt Gerade Kugel Meine Frage: Guten Tag, ich versuche derzeit eine allgemeine Formel für den Schnittpunkt(e) einer Geraden mit einer Kugel zu definieren... Kugel: $\begin{eqnarray} (\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} xm \\ ym \\ zm \end{pmatrix})² = r² \end{eqnarray}$ Gerade: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} xo \\ yo \\ zo \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} xd \\ yd \\ zd \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das ganze ineinander eingesetzt und das Skalarprodukt gebildet: (xo - xm + lamda * xd)² + (yo - ym + lamda * yd)² + (zo - zm + lamda * zd)² = r² ja ... und siehe anhang meinen Lösungsweg... zwar mit Mue gerechnet, aber sonst gleich. Aber irgendwie hab ich das Gefühl, dass ich da irgendwo nen Fehler drin hab, den je nachdem was man für die Konstanten einsetzt, kommen unsinnige Mue Werte raus. Bsp: wenn ich ne Kugel mit der Mitte (2\|2\|2) und dem Radius ein habe. Die Gerade durch den Ursprung mit Richtungsvektor (1\|1\|1) - dann darf kein negatives Mue rauskommen, von der Logik her. ISt aber der Fall... seht ihr nen Denkfehler bei der Geschichte? hier mein Lösungsweg: [attach]18995[/attach] Bitte lade Bilder immer mit "Dateianhänge" hoch. Danke, Gualtiero Vielen Dank im Vorraus! Meine Ideen: 1. ausmultiplizieren 2. Die einzelnen Summanden nach Ordnung sortieren 3. Ausklammern 4. Substituieren ums übersichtlicher zu gestalten 5. Quadratische Ergänzung
07.04.2011, 21:23	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Gleichung für den Schnittpunkt Gerade Kugel Im allgemeinen Beispiel kann man das Vorzeichen nicht feststellen. Rechne doch das einfache Beispiel mit den konkreten Zahlen, dann siehst Du, dass lambda positiv ist.
07.04.2011, 21:57	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab mir das mal ne viertel Stunde angeschaut. Konnte im Rechengang keinen Fehler entdecken. Doch die Tücke liegt im Detail. Bei der Rückübersetzung der Parameter a b und c entstehen leicht Einsetzungsfehler. Ein Fehler-test mit der einfachen Kugel und Gerade hat deshalb keine Aussagekraft. Mein Tipp: vergess diese gigantische Formel, die beim Einsetzen von a b und c entsteht- und setze im konkreten Fall ( bei einer Aufgabe ) den Schnitt neu an. Die dann enthaltenen vielen Zahlen vereinfachen den Rechenweg ungemein.
07.04.2011, 23:22	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
soferne ein schnittpunkt existiert - was man zuerst überprüfen sollte, kann man versuchen: $\begin{eqnarray} (\vec{x}-\vec{m})^2=r^2\wedge \vec{x}=\vec{a}+t\cdot\vec{b} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{s}_{1,2}=\vec{a}+((\vec{m}-\vec{a})\cdot\vec{b}\pm\sqrt{r^2\cdot b^2-((\vec{a}-\vec{m})\times\vec{b})^2})\cdot\frac{\vec{b}}{b^2} \end{eqnarray}$ netterweise ergibt dies bei deinem beispiel $\begin{eqnarray} S_1(2.577/2.577/2.577)\wedge S_2(1.423/1.423/1.423) \end{eqnarray}$ was sogar stimmen könnte
12.04.2011, 17:14	Janchu88	Auf diesen Beitrag antworten »
besten dank... hab echt nur beim einsetzen nen fehler gemacht... es könnte ja so einfach sein

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