Unendliche Gruppen [KAB]

07.04.2011, 23:25

tigerbine

Unendliche Gruppen [KAB]

Zitat:

Jede unendliche Gruppe hat unendlich viele Untergruppen. Ja/Nein

Ja,

es gibt mind. ein Element g in G mit unendlicher Ordnung, d.h. alle Potenzen von g sind paarweise verschieden und ungleich e. Betrachtet man zu jeder Potenz von g die zugehörige zyklische Untergruppe, so sind diese Paarweise verschieden und es gibt (abzählbar) unendlich viele solche Untergruppen.

07.04.2011, 23:43

tmo

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Die Argumentation kann so nicht stimmen. Betrachte z.b. zu einer zyklischen Gruppe G mit n Elementen mal $\begin{eqnarray*} H := G^{\mathbb N} \end{eqnarray*}$ , also alle Folgen in G.

Versieht man H mit der punktweise Gruppenoperation, so wird H zu einer Gruppe mit Exponent n, also hat jedes Element höchstens Ordnung n.

07.04.2011, 23:46

tigerbine

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Zitat:

Die Argumentation kann so nicht stimmen.

Ok, sehe wo ich scheitere.

Wie muss ich nun die Ja/Nein Frage anpacken? verwirrt

07.04.2011, 23:59

tmo

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Ich hätte jetzt spontan zu bieten, dass du mal eine Fallunterscheidung machst:

1. Es gibt ein Element mit unendlicher Ordnung. Schon gelöst.

2. Die Gruppe hat endlichen Exponenten, d.h. die Menge aller Ordnungen ist beschränkt. Darunter fällt z.b. mein Beispiel. Dann kann man aber eine Ordnung wählen, sodass es unendlich viele Elemente dieser Ordnung gibt. Dann betrachte mal zu jedem solchen Element die von diesem Element erzeugte zyklische Untergruppe.

3. Weder 1. und 2. treten ein, d.h. es gibt eine unendliche Folge von Elementen, deren Ordnungen streng monoton steigen. Nun ist die Idee wieder genau die selbe.

08.04.2011, 00:16

tigerbine

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Zu 2.

Es haben also unendlich viele Elemente die Ordnung n<+oo, nennen wir diese Teilmene N. Sei g ein solches Element von der Ordnung n<+oo. Dann gibt es in $\begin{eqnarray*} \langle g\rangle \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} \varphi(n)<\infty \end{eqnarray*}$ erzeugende Elemente, nennen wir die Menge E. Es gibt nun ein $\begin{eqnarray*} h \in N\setminus E \end{eqnarray*}$ der Ordnung n mit $\begin{eqnarray*} \langle g\rangle \cap \langle h\rangle =\{e\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |N\setminus E|=\infty \end{eqnarray*}$ . Das kann man nun immer so weiter machen...

08.04.2011, 13:22

tmo

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Ja, das müsste so durchgehen. Freude

Aber ich würde fast behaupten, dass folgende Argumentation vielleicht noch ein bisschen einfacher ist:

Ich bleibe bei deinen Bezeichnungen, sei also N die Teilmenge aller Elemente mit Ordnung n, wobei n so gewählt war, dass N unendlich viele Elemente enthält.

Nun ist $\begin{eqnarray*} N \subseteq \bigcup_{g \in N} \langle g \rangle \end{eqnarray*}$

Wenn rechts nur endlich viele verschiedene Untergruppen vereinigt würden, so wäre die rechte Menge insgesamt endlich, da ja $\begin{eqnarray*} |\langle g \rangle| = n < \infty \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} g \in N \end{eqnarray*}$ gilt. Das kann ja aber nicht sein, da N schon eine unendliche Teilmenge ist.

08.04.2011, 14:44

tigerbine

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Danke, auch für die bessere Formulierung.

08.04.2011, 16:00

Mystic

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Um den Beweis von allem überflüssigen Beiwerk zu befreien, sollte man m.E. von vornherein von einer Überdeckung

$\begin{eqnarray*} G= \bigcup_{g \in G} \langle g \rangle \quad \quad (^*) \end{eqnarray*}$

ausgehen... Entweder ist eine der zyklichen Gruppen $\begin{eqnarray*} \langle g \rangle \ (g \in G) \end{eqnarray*}$ unendlich, dann hätte diese (und damit natürlich auch G selbst) unendlich viele Untergruppen, oder alle diese zyklischen Untergruppen sind endlich, denn muss es aber unendlich viele von ihnen geben, da sonst G aufgrund von (*) endlich wäre...

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