Gruppe Ordnung 45 [KAB]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe Ordnung 45 [KAB]
Zitat:
Zu Zeigen:
  1. Jede Gruppe der Ordnung 45 ist abelsch
  2. Es gibt genau 2 Isomorphietypen von Gruppen der Ordnung 45.
  3. Die Einheitengruppe hat genau eine Untergruppe U der Ordnung 45
  4. Diese Gruppe U ist zyklisch



zu (a) und (b):
Es ist |G|=3²5. Nach den Sätzen von Sylow gibt es je eine 3 und eine 5-Sylowgruppe. Diese sind daher Normalteiler und G ist das direkte Produkt. Da Gruppen der Ordnung p bzw. q², (p,q prim) abelsch sind, ist auch G abelsch.

Es gibt für q², q prim genau 2 Isomorphietypen. Daher folgt hier





zu (c) und (d):
Dazu fällt mir zunächst nur ein.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Ordnung 45 [KAB]
a. und b. stimmen... Freude

Bei c. und d. geht es um die Struktur der Gruppe ... Dazu braucht man die Zerlegung



denn damit gilt auch

tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Ordnung 45 [KAB]
So, bei der Ordnung von lag ich doch mit 360 richtig, oder?

Nun muss ich aber hinter deinen Schachzug kommen... Wieso gilt das denn... verwirrt

[#]

In den Unterlagen war nur definiert, was eine Einheit ist. Ich müßte Informationen aber auch unter dem Begriff: Prime Restklassenklassengruppe finden, oder?

Zitat:
Bezeichnet die p-Bewertung von n (die Vielfachheit des Primfaktors p in n), ist also



die Primfaktorzerlegung von n, dann gilt:



Die erste Isomorphieaussage (Zerlegung des Moduls n in seine Primfaktoren) folgt aus dem chinesischen Restsatz. Die zweite Isomorphieaussage (Struktur der primen Restklassengruppe modulo Primzahlpotenz) folgt aus der Existenz gewisser Primitivwurzeln[1] (siehe auch den zugehörigen Hauptartikel Primitivwurzel).


Das müßte [#] erklären. Und im Karpfinger habe ich nun auch das passende Lemma gefunden, was mir diese kanonische Primfaktorzerlegung (#) liefert. Für den nächsten Schritt:



verwendest du

Zitat:
ist genau dann zyklisch, wenn n gleich oder ist mit einer ungeraden Primzahl p und einer positiven Ganzzahl r.


Die ordnung bekommt man mit der Eulerschen PhiFunktion. Danach fasst du nur noch zwei zyklische Gruppen teilerfremder Ordnung zusammen. (bekannt). Richtig so?

Dann wäre mein Fazit:
Bei Einheiten lieber mal unter prime Restklassen /chin. Restsatz/Anwendung in der Zahlentheorie nachschlagen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Ordnung 45 [KAB]
Zitat:
Original von tigerbine
Dann wäre mein Fazit:
Bei Einheiten lieber mal unter prime Restklassen /chin. Restsatz/Anwendung in der Zahlentheorie nachschlagen.

Ja, das hat hier sehr viel mit dem Chinesischen Restsatz zu tun... Dieser besagt nämlich, dass für eine positive ganze Zahl m mit der Zerlegung , wobei die paarweise teilerfremde natürliche Zahlen sind, die Abbildung



ein Ringisomorphismus ist, wobei insbesondere auch die Einschränkung



einen Gruppenisomorphismus der entsprechenden Einheitengruppen gleich mitliefert, d.h., es gilt auch



Hier auch noch die einfache Antwort auf eine Frage, welche du zuletzt interessanterweise gar nicht gestellt hast, nämlich warum die Untergruppe der Ordnung 45 von eindeutig bestimmt ist: Sie besteht aus genau den Elementen ungerader Ordnung... Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Ordnung 45 [KAB]
Zitat:
Original von Mystic
Hier auch noch die einfache Antwort auf eine Frage, welche du zuletzt interessanterweise gar nicht gestellt hast, nämlich warum die Untergruppe der Ordnung 45 von eindeutig bestimmt ist: Sie besteht aus genau den Elementen ungerader Ordnung... Wink


Weil mir im Moment die Formulierung "genau eine" nicht mehr parat war. Augenzwinkern

Was mich hier etwas wundert ist die Aufteilung a,b,c,d. Ist es da falsch, wenn man dass so in Pärchen beantwortet?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppe Ordnung 45 [KAB]
Zitat:
Original von tigerbine
Was mich hier etwas wundert ist die Aufteilung a,b,c,d. Ist es da falsch, wenn man dass so in Pärchen beantwortet?

Wichtig ist natürlich, dass alle Fragen wirklich beantwortet werden... Im Rahmen einer schriftlichen Prüfung würde ich das aber eher nicht so zusammenfassen, da für den Korrigierenden damit die Übersicht darüber etwas verloren geht, was nun tatsächlich beantwortet wurde... Augenzwinkern
 
 
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