Ungleichung

04.12.2006, 19:30

ChrisR

Ungleichung

Hallo!

Ein Würfel wird 100 mal in unabhängiger Reihenfolge geworfen.

$\begin{eqnarray*} X_j \end{eqnarray*}$ beschreibt

beschreibt die beim j-ten Wurf erzielte Augensumme.

Wie zeigt man:

$\begin{eqnarray*} P\left( {\left\{ {\sum\limits_{j = 1}^{100} {X_j \ge 400} } \right\} \cup \left\{ {\sum\limits_{j = 1}^{100} {X_j \le 300} } \right\}} \right) \le \frac{7}{{60}} \end{eqnarray*}$

Gruß,
Chris

04.12.2006, 19:32

Chris_R

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War nicht eingeloggt als ich gepostet habe, sorry.

Gruß,
Chris

04.12.2006, 20:56

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Versuch's mal mit der Tschebyschew-Ungleichung.

04.12.2006, 21:35

Chris_R

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Versuch's mal mit der Tschebyschew-Ungleichung.

Kannst Du mir ein wenig zeigen wie das geht?
unglücklich

Gruß,
Chris

04.12.2006, 21:47

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RE: Ungleichung
Mal als Abkürzung $\begin{eqnarray*} S := \sum\limits_{j=1}^{100} X_j \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit, die du berechnen sollst, ergibt dann eingesetzt und umgeschrieben

$\begin{eqnarray*} P\left( \left\{ S \geq 400 \right\} \cup \left\{ S \leq 300 \right\} \right) = P(|S-350| \geq 50) \end{eqnarray*}$

Was du jetzt zur Anwendung der Tschebyschew-Ungleichung brauchst, sind die beiden Verteilungsparameter $\begin{eqnarray*} \mu=E(S) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma^2=\operatorname{var}(S) \end{eqnarray*}$

Das die Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X_1,\ldots,X_{100} \end{eqnarray*}$ unabhängig und identisch verteilt sind, kannst du das ganze auf die entsprechenden Parameter einer Ausgangsgröße, exemplarisch $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ , zurückführen:

$\begin{eqnarray*} E(S) &=& \sum\limits_{j=1}^{100} ~ E(X_j) = 100\cdot E(X_1)\\ \operatorname{var}(S) &=& \sum\limits_{j=1}^{100} ~ \operatorname{var}(X_j) = 100\cdot \operatorname{var}(X_1) \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} E(X_1) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X_1) \end{eqnarray*}$ müssen noch bestimmt werden, also Erwartungswert und Varianz der Augenzahl eines einzelnen Wurfes.

EDIT: Hätte mir etwas Arbeit sparen können:

Ungleichung von Tschebyschew

04.12.2006, 22:37

Chris_R

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Ach so geht das.

Vielen, vielen Dank Arthur!

Gruß,
Chris

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