Ideale, Ringe, Körper

08.04.2011, 08:12

Amelia

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Ideale, Ringe, Körper

Meine Frage:
Für einen Ring T und b element von T, definiert man bT={b*t|t element von T}

Bezeichne Z die Menge der ganzen Zahlen, Q die rationalen Zahlen und R die rationalen Zahlen
(i) sind 8Z, -7Q, sqrt(42)R jeweils ein Ring, Körper oder gar nichts von dem

(ii) Für welche b element von T ist bT ein Ring?

Meine Ideen:
Also bei der ersten habe ich die Eigenschaften von Ringen und Körpern angewendet und mal geschaut was funktioniert. für 8Z habe ich dann gedacht, dass es schon kein Ring und somit auch kein Körper sein kann, da 0 nicht element von 8Z ist...nur erscheint mir das komisch, weil ich das bei den anderen auch nicht anwenden kann. Für -7Q sind alle Brüche inbegriffen, deren Zähler modulo 7 gleich Null ergibt...für NUll würde das ja wiedeer nicht funktionieren. Ich glaube ich gehe die Aufgabe falsch an. Kann mir jemand vielleicht erstmal genau erklären welche Menge mit 8Z usw gemeint ist. Ich dachte das wäre die ganzen Zahlen (in dem ersten Fall), die modulo 8 NUll ergeben, sprich in der 8er Reihe vertreten sind. hmm... ich würde mich sehr freuen wenn ihr mir bald helfen könntet weil ich sonst verzweifle

08.04.2011, 08:46

jester.

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Hallo,

du verstehst die Definition wohl nicht ganz richtig, denn 0 liegt sehr wohl in $\begin{eqnarray*} 8\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
Bei $\begin{eqnarray*} 8\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ handelt es sich um $\begin{eqnarray*} 8\mathbb{Z}=\{8\cdot c ~|~ c \in \mathbb{Z}\} = \{ ...,-24,-16,-8,0,8,16,24,...\} \end{eqnarray*}$ .

Beachte nun, um zu überprüfen, ob dies ein Ring ist, dass laut eurem Skript Ringe immer eine 1 haben, d.h. ein Neutralelement bzgl, Multiplikation. Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Mich würde zumindest sehr überraschen, wenn exakt diese Aufgabe auch noch außerhalb der RWTH gerade aktuelle Übungsaufgabe wäre).

08.04.2011, 11:10

ChronoTrigger

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hallo,

ich bearbeite gerade die selbe aufgabe, und habe eine frage an jester, da er unser skript anspricht.

laut unserem LA skript wird explizit die existenz eines neutralen elements der multiplikativen verknüpfung gefordert, laut wiki hier reicht allerdings schon die assoziativität der verknüpfung.

mir ist gerade nicht klar, wie die existenz der neutralen elements bzgl. der multiplikativen verknüpfung aus der assoziativität folgen kann, und bei wiki wird dazu nichts gesagt.

08.04.2011, 11:19

lgrizu

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Dem ist auch nicht so, die Existenz des Eins-Elements folgt nicht aus der Assoziativität, konnte bei Wiki auch keine Bestätigung deiner Aussage finden.

Da für Ringe das Assoziativgesetz gelten muss (sonst wär es kein Ring), hätte dann jeder Ring "automatisch" ein 1-Element, dem ist aber nicht so.

08.04.2011, 11:28

ChronoTrigger

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danke für die antwort.

ich habe mich vielleicht etwas falsch ausgedrückt.

Ich meinte eigentlich, dass bei wiki lediglich darauf verwiesen wird, dass die betrachtete Menge bezüglich der multiplikativen Verknüpfung eine Halbgruppe ist, und auf der verlinkten Halbgruppen seite wird lediglich das Assoziativgesetz gefordert.

was mir gerade allerdings erst aufgefallen ist, ist, dass bei wiki

Zitat:

Sie ist eine Verallgemeinerung einer Gruppe.

steht. (hier)

damit ist dann klar, wo das neutrale Element der multiplikation herkommt.

08.04.2011, 11:38

lgrizu

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Aber nicht jeder Ring hat ein neutrales Element, die Forderung ist lediglich:

Sei (R,+,*) eine Algebra, wenn gilt: (R,+) ist abelsche Gruppe und (R,*) ist Halbgruppe (das bedeutet, dass (R,*) abgeschlossen ist unter * und dass das Assoziativgesetz gilt) und es gelten die Distributivgesetze, so nennen wir (R,+,*) einen Ring.

Ein neutrales Element wird für einen Ring nicht gefordert.

Besitzt ein Ring ein neutrales Element, so sprechen wir von einem Ring mit 1, besitzt er keines, auch gut, ein Ring ist es dennoch.

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08.04.2011, 16:07

jester.

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Nun, das kommt immer darauf an, wie man es definiert. In der LA1 von Frau Zerz hat nunmal jeder Ring eine 1.
Wikipedia ist zwar schön und gut, aber gerade nicht geeignet, um so eine Frage nach einer Definition (die dann innerhalb einer Veranstaltung zum Standard erhoben wird) zu beantworten.

08.04.2011, 16:11

lgrizu

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Es ist aber dennoch ziemlich falsch, diese (also die 1) aus der Gültigkeit des Assoziativgesetzes zu folgern (wie auch?), die 1 muss seperat postuliert werden.

Eine Halbgruppe hat nun mal nicht zwangsläufig ein neutrales Element.

08.04.2011, 16:13

jester.

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Natürlich, ich glaube, dass einfach nur gemeint ist:

Zitat:

Original von ChronoTrigger
[...] laut wiki hier reicht allerdings schon die assoziativität der verknüpfung,

...damit man $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ als Ring bezeichnen darf.

08.04.2011, 16:18

lgrizu

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Ah, das könnte natürlich sein, sorry, Missverständnis meinerseits.

Zitat:

Original von ChronoTrigger

was mir gerade allerdings erst aufgefallen ist, ist, dass bei wiki

Zitat:

Sie ist eine Verallgemeinerung einer Gruppe.

steht. (hier)

damit ist dann klar, wo das neutrale Element der multiplikation herkommt.

Diese Aussage hat mich zu dem Missverständnis gebracht, ich dachte, ChronoTrigger meint, dass die Halbgruppe (R,*) ein 1 Element "mitbringt".

08.04.2011, 18:40

ChronoTrigger

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ja, da habe ich wirklich etwas für verwirrung gesorgt.

So wie jester es gepostet hat, habe ich das auch gemeint. Sorry dafür.

11.04.2011, 15:04

ChronoTrigger

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ich habe da noch eine Frage zu der teilaufgabe ii , wie sie im anfangspost gepostet wurde.

Bei uns besitzt ein Ring, so wie jester es gepostet hat, nach Definition eine 1.

somit wäre im Fall $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} bT=\{0\} \end{eqnarray*}$ und somit besitzt $\begin{eqnarray*} bT \end{eqnarray*}$ keine 1, und somit ist hier kein Ring gegeben.

Für alle $\begin{eqnarray*} b \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} bT \end{eqnarray*}$ aber ein Ring, oder habe ich da etwas falsch verstanden?

11.04.2011, 16:20

jester.

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Hallo,

das ist leider beides falsch. Z.B. ist $\begin{eqnarray*} 2\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ja auch kein Ring. Also muss eine bestimmte Bedingung an $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ gestellt werden.
Außerdem ist $\begin{eqnarray*} R=\{0\} \end{eqnarray*}$ sehr wohl ein Ring, auch nach Definition des Skripts, denn $\begin{eqnarray*} 0=1 \end{eqnarray*}$ wurde ja nirgendwo ausgeschlossen (außer für Körper).

Edit: Warst du letztes Semester schon in Grundlagen dabei? Da hatten wir sogar mal eine kleine Übungsaufgabe zum Nullring. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Genau war das: Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein Ring, dann gilt $\begin{eqnarray*} R=\{0\} \Longleftrightarrow 1=0 \Longleftrightarrow ~\forall r \in R ~\exists ~ s \in R ~:~ rs=1 ~\Longleftrightarrow ~ \exists r\in R ~:~ 0r=r0=1 \end{eqnarray*}$ Das ist vielleicht eine ganz gute Übungsaufgabe, um sich nochmal (oder als Neuling) mit den Begriffen vertraut zu machen.

12.04.2011, 15:07

ChronoTrigger

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ja, letztes semester war ich in grundlagen.

also für $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} bT \end{eqnarray*}$ ein ring.

$\begin{eqnarray*} 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist nach unserer Definition kein Ring, weil hier das Einselement fehlt.

wenn man aber zwischen ringen mit und ohne Einselement unterscheidet, dann wäre $\begin{eqnarray*} 2 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein ring ohne einselement, oder?

in $\begin{eqnarray*} 8 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ fehlt dann ebenfalls das Einselement.

Ich denke, dass demnach $\begin{eqnarray*} b \in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ gelten muss.

13.04.2011, 15:44

jester.

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Ja, $\begin{eqnarray*} 8\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ kann man als Ring ohne 1 bezeichnen.
Du behauptest nun $\begin{eqnarray*} b\in \{0,1\} \end{eqnarray*}$ muss gelten, damit $\begin{eqnarray*} bT \end{eqnarray*}$ ein Ring ist. Was hast du denn über $\begin{eqnarray*} -7\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ gesagt und ist das damit vereinbar?

13.04.2011, 18:40

ChronoTrigger

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$\begin{eqnarray*} -7 \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist meiner meinung nach ein körper, und damit insbesondere auch ein ring.

Damit ist meine Behauptung natürlich hinfällig und falsch.

13.04.2011, 20:07

jester.

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Zitat:

Original von ChronoTrigger
Damit ist meine Behauptung natürlich hinfällig und falsch.

Hast du denn schon eine neue Behauptung? Warum ist $\begin{eqnarray*} -7\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ein Körper? Darin liegt der Schlüssel zu dieser Aufgabe.

13.04.2011, 20:17

ChronoTrigger

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Zitat:

Warum ist $\begin{eqnarray*} -7\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ein Körper?

weil $\begin{eqnarray*} -7 \mathbb Q = \mathbb Q \end{eqnarray*}$ gilt.

demnach sind es alle b, die $\begin{eqnarray*} bT=T \end{eqnarray*}$ erfüllen.

13.04.2011, 20:26

jester.

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Ja aber welche b sind das? Es wird erwartet, dass man exakt angibt, welche b die Eigenschaft erfüllen.

Du kannst dir ja mal überlegen, für welche $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ die Gleichheit $\begin{eqnarray*} b\mathbb{Q}=\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ gilt und welche besondere Eigenschaft $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ erfüllt, die du damit in Verbindung bringen kannst.

13.04.2011, 20:41

ChronoTrigger

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ah danke, jetzt hab ich es.

da stand ich wohl echt etwas auf dem schlauch.

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