Gradient

Neue Frage »

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient
Meine Frage:
Sei offen, differenzierbar und .
Zeigen Sie:

(i) Die Länge des Gradienten von f im Punkt a ist das Maximum aller Richtungsableitungen nach den Einheitsvektoren:
.

(ii) Im Fall gibt es genau einen Einheitsvektor v mit und mit diesem ist .
Der Gradient zeigt also in die Richtung des stärksten Anstiegs der Funktion im Punkt a.

Sei weiter ein beliebiges Intervall und eine differenzierbare Kurve, die in einer Niveaumenge von f verläuft, d.h. es ist für eine Konstante c und alle . Zeigen Sie:

Der Gradient von f im Punkt steht senkrecht auf dem Tangentialvektor :

.

Meine Ideen:
zu (i)

Ich habe in Königsberger, Analysis 2, Folgendes gefunden:

Zitat:

Es bezeichne die zum Skalarprodukt gehörige Norm. Aufgrund der Cauchy-Schwarzen Ungleichung gibt es einen Winkel zwischen den Vektoren und h derart, daß gilt:

.

Nach dieser Darstellung zeichnet sich der Gradient durch folgende Maximalitätseigenschaft aus:

Hier stehen die Behauptungen, die man bei (i) und (ii) zeigen soll.



Ich überlege mal, was ich damit anfangen kann und poste dann meine Ideen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich bin bis jetzt zu Folgendem gekommen und bitte darum, dass es sich jemand durchliest, mich korrigiert und ergänzt. Wäre wirklich toll!

Zu (i):

Sofern ich mich richtig erinnere, gibt es einen Satz, der besagt:

Eine in a differenzierbare Funktion f hat dort Richtungsableitungen in jeder Richtung; sie ist dort insbesondere partiell differenzierbar. Ihr Differential in a hat für jeden Vektor den Wert

und ihre Ableitung ist die 1-zeilige Matrix .

Hieraus folgt m.E., dass für die Richtungsableitungen gilt:
, d.h.
.

Für das Skalarprodukt gilt ja nun definitionsgemäß:
, wobei der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist.

[Inwiefern das hier mit der Cauchy-Schwarzen Ungleichung zu tun hat, ist mir nicht klar. Wahrscheinlich, weil dieser sagt und das = darin enthalten ist. Die Norm ist jedenfalls .]

Dann würde ich sagen:

, da .

Zu (ii):

Hier würde ich ähnlich argumentieren:
Sei v Einheitsvektor.
So gilt wieder für die Richtungsableitung von f in a in Richtung v:

, wobei den Winkel zwischen v und grad f(a) bezeichnet.

Für kommt ja heraus, also ein Maximum der Richtungsableitung. Und dass der Winkel 0 Grad ist, heißt, dass v und grad f(a) parallel liegen, also in die gleiche Richtung zeigen.


Nur ist mir nicht klar, wieso der Winkel unbedingt 0 sein muss.
Kommen nicht auch andere Winkel in Frage oder ist dann immer , wenn ?

Zu (iii):

Ich habe keine Ahnung! Meine Idee schreibe ich trotzdem mal auf:
Für mich ist nach Obigem das Skalarprodukt nichts Anderes als die Richtungsableitung von f im Punkt in die Richtung :

, da .


Kommt mir zu einfach vor, aber einen anderen Einfall habe ich nicht.
ChristianII Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

leider weiß ich nicht, von welchen Vorkenntnissen Du ausgehst, aber ich versuche dennoch mal, meine Meinung dazu abzugeben.

Zu i) und ii):
Zuerst gehe ich einen Schritt zurück. In Königsberger ist der Hinweis auf die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung gegeben.

Allgemein gilt:
, wobei
L die einzeilige Matrix ist, mit deren Hilfe jene Linearform dargestellt wird, die als (totale) Ableitung in einem gegebenen Punkt bezeichnet wird, wenn f dort differenzierbar ist.

Den Term (Matrizen- bzw. Vektormultiplikation):

kann man als (euklidisches) Standardskalarprodukt auffassen.
Daher kann den Betrag von "L * v", also |L * v|, durch die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung für Vektorräume abschätzen.

Wir wissen, dass der Vektor v normiert ist. Durch die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung kann man ermitteln, welchen Wert "L * v" unter Beachtung der richtigen Vorzeichen maximal annimmt. Zudem verrät die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung auch, welche Beziehung zwischen v und L gelten muss, damit "L * v" maximal wird. Diese Beziehung nehme man heran und folgere, dass dadurch v eindeutig bestimmt wird (dabei berücksichtigen, dass v ja normiert ist.)

zu iii)
Für (ich benutze hier andere Bezeichnungen und Definitionen in der Hoffnung, dass sich dies Alles aus dem Zusammenhang ergibt) s(t) := f(g(t)) = c folgt:

Welcher Zusammenhang besteht zwischen Df(g(t)) und dem Gradienten? Wie kann man obigen Term als Standardskalarprodukt auffassen?

Gruß
Alex
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich das, was Du mir jeweils vorschlägst, nicht schon gemacht?

Auf welchen Beitrag von mir beziehst Du Dich? Auf den allerersten Beitrag?
Ich hatte nämlich danach im nächsten Beitrag schon konkrete Rechnungen usw. gegeben. Hast Du die gesehen?
ChristianII Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mir ist Deine Argumentationsweise nicht klar (kann sich aber auch um ein Verständnisproblem meinerseits handeln), denn ich dachte aufgrund der Aufgabenstellung, man sollte die Definition von

aufgrund gewisser Eigenschaften erst herleiten, aber Du verwendest diese Definition bereits in Deinem Beweis.

Darüber hinaus finde ich den "reinen" Ansatz über die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung zur Veranschaulichung besser. Damit umgeht man das Problem mit der Definition von cosinus.

Gruß
Christian
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, was man erst herleiten soll für ||grad f(a)||.

Und was meinst Du mit "reinem Ansatz über die C-S-Ungleichung"?

Das habe ich nicht verstanden.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht kann noch jemand Drittes meine Ideen im 2. Beitrag ansehen?
ChristianII Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

bei der Aufgabe bin ich davon ausgegangen, dass ||grad f(a)|| noch nicht als Definition bekannt ist, sondern erst durch die Eigenschaften aus i) eingeführt wird.
Aufgrund dieser Eigenschaften von i), so dachte ich, soll man dann zeigen, was für diese Beziehung folgt. (Dabei handelt es sich aber wohl um ein Verständnisproblem meinerseits, daher meinte ich zu Beginn, dass ich nicht weiß, von welchen Voraussetzungen Du ausgehst; für Dich scheint schon klar zu sein, dass L = Df(a) = grad(f(a) ist.)

Mit "reinem" Ansatz über die Chauchy-Schwarzsche Ungleichung meinte ich:

Laut Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung gilt für ein Skalarprodukt "<,>":


Es ist dann, wenn wir "<,>" als euklidisches Standardskalarprodukt definieren:


Nun kann also eine Abschätzung über diese Ungleichung erfolgen. Wenn wir nun davon ausgehen (also so, wie ich die Aufgabe irrtümlich verstanden hatte), dass ||grad(f(a)|| "rein" durch die Eigenschaften aus i) beschrieben ist, folgt unter der Beachtung der Normierung von v
,
da es wirklich auch einen Vektor v gibt, für den der maximale Wert angenommen wird.
Laut der Cauchy-Schwarzsche Ungleichung gibt es, damit dieser maximale Wert agenommen wird, ein a e IR geben mit:
v = a * L.
Unter Berücksichtigung der Normierung von v und dem richtigen Vorzeichen ist a eindeutig bestimmt; es folgt, dass v in die gleiche Richtung wie L:= grad(f(a) zeigt.

Zu Deiner Lösung: In der Tat ist cos(a)= 1 nur für
a=0 in 0<= a < 2*(pi)

zu iii)
Du kannst nicht f'(g(t)) = 0 für f(g(t) = c setzen, denn was verstehst Du unter
f'?
Es ist: s(t) := f(g(t) = c, also s'(t) = 0
Laut Kettenregel gilt:
s´(t) = Df((g(t)) * g´(t) = grad(f(g(t)) *g´(t) = < grad(f(g(t)), g´(t)> = 0.
es ist nicht grad f(g(t)) = 0 bereits "alleine".

Gruß
Christian
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, nun habe ich verstanden was Du meinst.
Du hast alles allein auf dieser einen Aufgabe und was in ihr bewiesen wird aufgebaut.

Und vielen Dank für den Hinweis zu (iii): Stimmt, man braucht ja die Kettenregel!

[Am besten gebe ich einfach beide "Versionen", Deine und meine korrigierte ab, dann kann ja eigentlich nichts falsch laufen.]
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »