Winkel und Vektor gegeben, zweiter Vektor mit bestimmten Winkel gesucht

08.04.2011, 11:55

bauhaushali

Winkel und Vektor gegeben, zweiter Vektor mit bestimmten Winkel gesucht

Meine Frage:
Hallo,

Zu einem gegeben Vektor in R3 einen Vektor mit passendem Winkel finden, geht das irgendwie schneller als mein Ansatz? Bzw. rechne ich dort überhaupt das richtige?

Grüße

Meine Ideen:

gesucht ist ein Vektor v mit Winkel zwischen u und v gleich 30°

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{u}=(3,-1) \overrightarrow{\left|u\right|}=\sqrt{10} \cos30\text{\textdegree=}\frac{\overrightarrow{u}*\overrightarrow{v}}{\sqrt{10}} \cos30\text{\textdegree}*\sqrt{10}=\overrightarrow{u}*\overrightarrow{v} \cos30\text{\textdegree}*\sqrt{10}=u_{x}*v_{x}+u_{y}*v_{y} \cos30\text{\textdegree}*\sqrt{10}=3*v_{x}+(-1)*v_{y} v_{y}:=0 \cos30\text{\textdegree}*\sqrt{10}=3*v_{x} v_{x}=0.9129 \end{eqnarray*}$

08.04.2011, 13:36

lgrizu

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RE: Winkel und Vektor gegeben, zweiter Vektor mit bestimmten Winkel gesucht
Meinst du wirklich den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ?

Dein Vektor (3,-1) stammt aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , das verwirrt mich ein wenig....
Im folgenden rechnest du auch im zweidimensionalen.

Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ existieren auch unendlich viele Vektroen, die die Eigenschaft erfüllen, einen Winkel von 30° mit einem beliebigen Vektor einzuschließen.....

Desweiteren scheinst du anzunehmen, dass dein gesuchter Vektor einen Betrag von 1 hat, was aber deiner Lösung wiederspricht.

Poste die Aufgabe doch einmal wortwörtlich so, wie du sie bekommen hast

08.04.2011, 13:41

bauhaushali

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RE: Winkel und Vektor gegeben, zweiter Vektor mit bestimmten Winkel gesucht
Hey,

jap ich meine R2, mein Fehler. Die Aufgabe sagt es ist Vektor u=(3,-1) und v=(6,3) gegeben. Ich soll "einen Vektor w mit Betrag 1 angeben, so dass der Winkel zwischen w und u 30° ist"

08.04.2011, 14:17

lgrizu

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RE: Winkel und Vektor gegeben, zweiter Vektor mit bestimmten Winkel gesucht
Sei dein Vektor w (x,y), wenn er zu u einen Winkel von 30° einschließt, welchen Winkel schließt er dann zu v ein?

Das liefert dir doch zwei Bedingungen.

08.04.2011, 14:24

bauhaushali

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Also es geht nur um die Vektoren U und W. U ist mir gegeben (3,-1) und W soll ich errechnen, dabei sind die Bedingungen dass U und W einen Winkel von 30° bilden und W den Betrag 1 hat.

Bin mir gerade nicht sicher ob ich die verwirrt habe, hoffe es ist jetzt klar wie ich das meine Augenzwinkern

Ich weiß nicht was für einen Winkel U zu V einschließt, das ist glaube ich auch nicht wichtig für die Lösung, da wir uns nur mit U und W beschäftigen. (Wenn das jetzt nicht so ist dann hab ich wohl meinen Fehler gefunden?!)

08.04.2011, 14:36

riwe

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der vektor v ist völlig belanglos

$\begin{eqnarray*} (1)\quad{}\frac{\sqrt{30}}{2}=3x-y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2)\quad{ }x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$

damit kommst du ans ziel

(1) aus dem skalarprodukt
(2) aus der normierung

fehler vorbehalten Augenzwinkern

08.04.2011, 14:38

lgrizu

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Es ist mir klar, dass du einen Vektor bestimmen sollst, der einen Winkel von 30° mit u einschließt.

Wenn man allerdings weiß, welchen Winkel u und v einschließen, dann weiß man auch, welchen Winkel w und v einschließen.

Der Winkel w besteht aus zwei Unbekannten, nämlich x und y.

Wenn man nun zwei Bedingungen formuliert, nömlich die Bedingungen, dass u und w einen Winkel von 30° einschließen und u und v dementsprechend einen Winkel von ?? Grad, dann bekommt man ein LGS mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen, welches dann eindeutig lösbar ist.

Also, welchen Winkel schließen u und v ein?

Welchen Winkel schließt also v mit w ein?

Wie lauten deine beiden Gleichungen?

Edit:@riwe:

Man kann auch ein LGS formulieren wie oben beschrieben, sollte auch zum Ziel führen.

08.04.2011, 15:04

riwe

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ich fürchte, das ist eine "tautologie" Augenzwinkern

08.04.2011, 16:09

lgrizu

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Zitat:

Original von riwe
ich fürchte, das ist eine "tautologie" Augenzwinkern

Ich habe dir meinen Ansatz per PN geschickt, kannst dir ja selbst ein Bild machen. Augenzwinkern

09.04.2011, 12:01

bauhaushali

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Okay, also die beiden Gleichungen die riwe aufgestellt hat leuchten ein, eine ergibt sich direkt aus meiner Bedingung:

$\begin{eqnarray*} \frac{3w_{x}-w_{y}}{\sqrt{1\text{0}}}=\cos30\text{\textdegree}=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Die andere Bedingung ist für die Norm von 1 die wir von w fordern.

Nun würde ich erstmal
$\begin{eqnarray*} 3w_{x}-w_{y}=\frac{\sqrt{30}}{2} w_{x}:=1 3-w_{y}=\frac{\sqrt{30}}{2} w_{y}=-\frac{\sqrt{30}}{2}+3 \end{eqnarray*}$

machen, ich habe ja zwei Unbekannte und eine Gleichung, die Normierung nehme ich erst zum Schluss vor oder?

Der Ansatz mit den Winkel würde mich auch interessieren, seh da immer noch keine Möglichkeit. Danke schonmal für eure tollen Tipps! Freude

09.04.2011, 13:10

lgrizu

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Du hast zwei Gleichungen und zwei Unbekannte, wenn du den Lösungsweg von Riwe gehen möchtest (bei meinem dann auch, aber dazu später).

Löse dazu eine der Gleichungen nach einer Variabel auf und setze diese in die andere ein, das Ergebnis ist ein normierter Vektor.

Such dir erst einmal einen Lösungsweg aus, den wir dann richtig gehen, den anderen kann man dir dann zum Schluss vormachen.

Wir haben die beiden Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 3x-y=\frac{\sqrt{30}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$

Nun kannst du die erste nach y auflöen und in die zweite einsetzen.

Warum du immer eine Koordinate als gegeben annimmst ist mir nicht ganz klar, wenn w_x=1 ist, so muss w_y=0 sein, die Bedingung, dass der Vektor normiert vorliegt wurde zwei mal benutzt, einmal als Gleichung 2 und einmal, dass im Nenner nur der Betrag von u steht und der Betrag von v als 1 angenommen wird, das Ergebnis ist also ein normierter Vektor.

09.04.2011, 15:58

bauhaushali

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Danke!

Nun ist mir das klar, die doppelte Normierung ist natürlich quatsch, ich habe das jetzt mal so gemacht und komme auf meine Vektor

1: $\begin{eqnarray*} w_{x}^{2}+w_{y}^{2}=1 \end{eqnarray*}$

2: $\begin{eqnarray*} 3w_{x}-w_{y}=\frac{\sqrt{30}}{2} \end{eqnarray*}$

Auflösen von 2 nach wy

$\begin{eqnarray*} w_{y}=\frac{1}{2}\left(-\sqrt{30}+6w_{x}\right) \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die 1
$\begin{eqnarray*} w_{x}^{2}+(\frac{1}{2}\left(-\sqrt{30}+6w_{x}\right))^{2}=1 w_{x}=\frac{1}{20}\left(-\sqrt{10}+3\sqrt{30}\right) \overrightarrow{w}=(0.66347,-0.748203) \end{eqnarray*}$

Der Winkel passt und er ist tatsächlich normiert! Also nochmal danke, das war jetzt eigentlich nicht so schwierig und ihr helft mir trotzdem! Freude

Alternativer Ansatz: Willkommen

09.04.2011, 16:47

lgrizu

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Jap, das passt nun.

Nun stelle ich dir meinen Ansatz vor:

Die Vektoren u und v schließen einen Winkel von 45° ein, gesucht ist also ein Vektor, der mit u einen Winkel von 30° einschließt und mit v einen Winkel von 75°.

Das liefert das LGS:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x-y}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos(30°) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{6x+3y}{\sqrt{45}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=\cos(75°) \end{eqnarray*}$ .

Nun multipliziert man entsprechend und kommt auf das LGS:

$\begin{eqnarray*} -6x+2y=-\sqrt{30} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6x+3y=\frac{\sqrt{270}-\sqrt{90}}{4} \end{eqnarray*}$

Addieren der ersten Gleichung zur zweiten und auflösen nach y liefert:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{-\sqrt{30}+\frac{\sqrt{270}-\sqrt{90}}{4}}{5} \end{eqnarray*}$

Entsprechende Vereinfachung liefert dann das gewünschte Ergebnis, es kommt das gleiche heraus.

Alternativ kann man auch sagen, dass der Vektor w einen Winkel von 30° mit u einschließt und einen Winkel von 15° mit v.

Liefert dir dann einen anderen Vektor, aber es gibt eh zwei mögliche Ergebnisse.

09.04.2011, 17:47

riwe

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wobei der "klassische" ansatz beide lösungen liefert Augenzwinkern

09.04.2011, 17:50

lgrizu

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Zitat:

Original von riwe
wobei der "klassische" ansatz beide lösungen liefert Augenzwinkern

Und das ist sicherlich auch der Vorteil an deiner Lösungsidee, da aber nur ein Vektor gesucht ist, ist es für die Lösung der Aufgabe unerheblich.

Ich hatte halt die Lösung als erstes im Kopf und habe ehrlich gesagt gar nicht darüber nachgedacht, dass man die Norm des Vektors als zweite Bedingung benutzen könnte.

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