Eigenwerte

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HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte
Hallo,

bräuchte zur Testvorbereitung bitte relativ schnell Hilfe zur Fragestellung:

Zeigen Sie, dass die Lösung der Gleichung die Eigenwerte der Matrix a sind.


Ich weiß, dass man mit der die Eigenwerte der Matrix A berechnet, doch wie soll ich das "zeigen"?

Kann mir da jemand bitte auf die Sprünge helfen?

Danke!

Edit: Das hat in der Analysis nichts verloren, in die Algebra verschoben! LG Iorek
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte
Was ist denn ein Eigenvektor?

Wie ist die geometrische Interpretation der Eigenvektoren?
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Eigenvektor einer Abbildung ist ein Vektor ungleich dem Nullvektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, also die Vektoren x, für die gilt:

.

Die Einheitsmatrix bildet jeden Vektor auf sich selbst ab, also können wir auch schreiben:

.

Nun können wir das ganze umformulieren, dann steht dort: , Distributivität ausnutzen und wir erhalten:

.

Nun machen wir und Gedanken darüber, wann dieses LGS lösbar ist, was muss mit der Determinante geschehen?

Welche Lösung erhalten wir, wenn die Determinante unglich 0 wird?
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Das LGS ist lösbar, wenn die Determinante ungleich 0 ist.
Das LGS ist unendlich oft lösbar, wenn die Determinante gleich 0 ist.
Kimi_R Auf diesen Beitrag antworten »

Also sind alle LGS lösbar
 
 
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Lösung erhalten wir, wenn die Determinante nicht verschwindet?

Dann ist die einzige Lösung der Nullvektor.

Damit man also eine Lösung erhält, die ungleich 0 ist, muss die Determinante verschwinden.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, verstehe nicht ganz.



Wieso ist die einzige Lösung der Nullvektor? Eher die Nullmatrix? Oder meinst du eh diese?
Und gibt es keine Matrix ungleich der Nullmatrix deren Determinante trotzdem 0 wird?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

, dann ist die einzige Lösung des LGS der Nullvektor x=0, ansonsten gibt es keine Lösung, da die Matrix invertierbar ist, wenn ihre Determinante nicht 0 ist.

Also gilt es die Werte zu bestimmen, für die die Determinante verschwindet, damit das LGS ein nichttriviale Lösung besitzt.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht liegts daran, dass ich heute einfach schon zu viel gepaukt habe, aber ich verstehs einfach nicht.

Wenn , dann ist die einzige Lösung des LGS der Nullvektor x=0.
OK

Ansonsten gibt es keine Lösung, da die Matrix invertierbar ist, wenn ihre Determinante nicht 0 ist.
OK


Also gilt es die Werte zu bestimmen, für die die Determinante verschwindet, damit das LGS ein nichttriviale Lösung besitzt.

Wie bestimme ich diese Werte denn?
Ich hab ja keine konkrete Matrix gegeben.

Die Fragestellung ist ja eher theoretisch, als das konkret etwas zu rechnen ist?




Iorek, danke fürs Verschieben!
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HansimGlück


Wie bestimme ich diese Werte denn?
Ich hab ja keine konkrete Matrix gegeben.



Indem du die lambdas bestimmst, für die die Determinate eben verschwindet, dann gibt es nicht triviale Lösungen unseres LGS.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Wie berechne ich denn die Lambdas, sodass die Determinante=0 wird?

Ich habe eine nicht gegebene Matrix A.
Ich weiß, dass die Eigenwerte der Matrix A sind.

Nun soll ich die Lambdas bestimmen, für die die Determinante 0 wird.
Das kann ich doch nur machen, wenn ich die Matrix A kenne?...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst doch zeigen, dass man so die Eigenwerte bestimmen kann, die Argumentation dazu liegt jetzt vor, nur noch verarbeiten und zusammenbasteln.

Nimm doch einmal an, die Determinante der Matrix A-xI (ich bezeichne die Eigenwerte hier mit x) ist nicht 0, was kann man dann über die Lösung der Gleichung Ay=xy sagen (y ist hier nun der Eigenvektor)?

Gibt es dann eine nichttriviale Lösung?

Dann stellst du dir die Frage, wie du an die Lösungen Ax=xy kommst, also an die Vektoren, die auf ein Vielfaches abgebildet werden und nicht 0 sind, die Antwort ist schon fast zu naheliegend, wenn die Determinate verschwindet, so hat das LGS nichttriviale Lösungen.
HansimGlück Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Determinante von A-xI nicht 0 ist, dann ist das LGS eindeutig lösbar.

Daraus folgt, dass die Matrix A gleich dem der Matrix I*x(Eigenwert) ist?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, daraus folgt, dass das LGS (A-xI)y=0 nichttriviale Lösungen hat.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Nein, daraus folgt, dass das LGS (A-xI)y=0 nichttriviale Lösungen hat.

Im Gegenteil, y=0 ist dann die einzige Lösung, d.h., x kein Eigenwert...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, genau das habe ich die ganze Zeit versucht zu sagen und im letzten Statement dann sowas, Schande auf mein Haupt, danke Mystic.

Ist natürlich richtig, wenn gilt , so hat das LGS nur die triviale Lösung.

Zitat:

Daraus folgt, dass die Matrix A gleich der Matrix I*x(Eigenwert) ist?


Aber das ist eben im allgemeinen falsch, die Matrix ist eine Diagonalmatrix, die Matrix A nicht zwangsläufig.

Es folgt dann, dass gilt: .

Es steht eigentlcih auch schon alles hier, man muss es nur noch zusammenpacken.
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